Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20045 / 20551
↖ ↑ ↗
← S 41.566142°
E 40.220947°		 ← 914.02 m → S 41.566142°
E 40.231934°		 →
↑
913.98 m
↓
↑
913.98 m
↓
S 41.574361°
E 40.220947°		 ← 913.90 m →
835 345 m²		 S 41.574361°
E 40.231934°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611740112304688 y=0.627182006835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611740112304688 × 215)
    floor (0.611740112304688 × 32768)
    floor (20045.5)     		tx = 20045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627182006835938 × 215)
    floor (0.627182006835938 × 32768)
    floor (20551.5)     		ty = 20551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20045 / 20551 ti = "15/20045/20551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20045/20551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20045 ÷ 215
    20045 ÷ 32768     		x = 0.611724853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20551 ÷ 215
    20551 ÷ 32768     		y = 0.627166748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611724853515625 × 2 - 1) × π
    0.22344970703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.70198796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627166748046875 × 2 - 1) × π
    -0.25433349609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.799012242867096
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70198796} λ = 0.70198796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.799012242867096))-π/2
    2×atan(0.449773011275819)-π/2
    2×0.422665146087695-π/2
    0.84533029217539-1.57079632675     		φ = -0.72546603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70198796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.220947°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72546603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.566142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20045 KachelY 20551 0.70198796 -0.72546603 40.220947 -41.566142
    Oben rechts KachelX + 1 20046 KachelY 20551 0.70217971 -0.72546603 40.231934 -41.566142
    Unten links KachelX 20045 KachelY + 1 20552 0.70198796 -0.72560949 40.220947 -41.574361
    Unten rechts KachelX + 1 20046 KachelY + 1 20552 0.70217971 -0.72560949 40.231934 -41.574361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72546603--0.72560949) × R
    0.000143459999999984 × 6371000     		dl = 913.983659999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72546603--0.72560949) × R
    0.000143459999999984 × 6371000     		dr = 913.983659999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70198796-0.70217971) × cos(-0.72546603) × R
    0.000191750000000046 × 0.748190299685974 × 6371000     		do = 914.018636565868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70198796-0.70217971) × cos(-0.72560949) × R
    0.000191750000000046 × 0.748095108544688 × 6371000     		du = 913.90234733142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72546603)-sin(-0.72560949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748190299685974-0.748095108544688)×R²
    abs(0.70217971-0.70198796)×9.51911412865325e-05×R²
    0.000191750000000046×9.51911412865325e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.51911412865325e-05×40589641000000     		ar = 835344.956959557m²