Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20042 / 4725
↖ ↑ ↗
← N 77.793161°
E 40.187989°		 ← 258.29 m → N 77.793161°
E 40.198974°		 →
↑
258.34 m
↓
↑
258.34 m
↓
N 77.790838°
E 40.187989°		 ← 258.34 m →
66 734 m²		 N 77.790838°
E 40.198974°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611648559570312 y=0.144210815429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611648559570312 × 215)
    floor (0.611648559570312 × 32768)
    floor (20042.5)     		tx = 20042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144210815429688 × 215)
    floor (0.144210815429688 × 32768)
    floor (4725.5)     		ty = 4725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20042 / 4725 ti = "15/20042/4725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20042/4725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20042 ÷ 215
    20042 ÷ 32768     		x = 0.61163330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4725 ÷ 215
    4725 ÷ 32768     		y = 0.144195556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61163330078125 × 2 - 1) × π
    0.2232666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.70141272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144195556640625 × 2 - 1) × π
    0.71160888671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.23558525068094
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70141272} λ = 0.70141272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23558525068094))-π/2
    2×atan(9.35195348804814)-π/2
    2×1.46427156399108-π/2
    2.92854312798216-1.57079632675     		φ = 1.35774680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70141272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.187989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35774680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.793161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20042 KachelY 4725 0.70141272 1.35774680 40.187989 77.793161
    Oben rechts KachelX + 1 20043 KachelY 4725 0.70160446 1.35774680 40.198974 77.793161
    Unten links KachelX 20042 KachelY + 1 4726 0.70141272 1.35770625 40.187989 77.790838
    Unten rechts KachelX + 1 20043 KachelY + 1 4726 0.70160446 1.35770625 40.198974 77.790838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35774680-1.35770625) × R
    4.05500000000281e-05 × 6371000     		dl = 258.344050000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35774680-1.35770625) × R
    4.05500000000281e-05 × 6371000     		dr = 258.344050000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70141272-0.70160446) × cos(1.35774680) × R
    0.000191739999999996 × 0.211441457406542 × 6371000     		do = 258.291712509778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70141272-0.70160446) × cos(1.35770625) × R
    0.000191739999999996 × 0.21148109042412 × 6371000     		du = 258.340127234628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35774680)-sin(1.35770625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211441457406542-0.21148109042412)×R²
    abs(0.70160446-0.70141272)×3.96330175778392e-05×R²
    0.000191739999999996×3.96330175778392e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.96330175778392e-05×40589641000000     		ar = 66734.3809283162m²