Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20042 / 28493
↖ ↑ ↗
← N 70.775157°
W124.953003°		 ← 100.57 m → N 70.775157°
W124.950256°		 →
↑
100.60 m
↓
↑
100.60 m
↓
N 70.774252°
W124.953003°		 ← 100.57 m →
10 117 m²		 N 70.774252°
W124.950256°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.152912139892578 y=0.217388153076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.152912139892578 × 217)
    floor (0.152912139892578 × 131072)
    floor (20042.5)     		tx = 20042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217388153076172 × 217)
    floor (0.217388153076172 × 131072)
    floor (28493.5)     		ty = 28493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20042 / 28493 ti = "17/20042/28493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20042/28493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20042 ÷ 217
    20042 ÷ 131072     		x = 0.152908325195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28493 ÷ 217
    28493 ÷ 131072     		y = 0.217384338378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.152908325195312 × 2 - 1) × π
    -0.694183349609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.18084131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217384338378906 × 2 - 1) × π
    0.565231323242188 × 3.1415926535     		Φ = 1.77572657262574
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.18084131} λ = -2.18084131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77572657262574))-π/2
    2×atan(5.90456967685625)-π/2
    2×1.4030279165002-π/2
    2.8060558330004-1.57079632675     		φ = 1.23525951
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.18084131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.953003°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23525951 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.775157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20042 KachelY 28493 -2.18084131 1.23525951 -124.953003 70.775157
    Oben rechts KachelX + 1 20043 KachelY 28493 -2.18079337 1.23525951 -124.950256 70.775157
    Unten links KachelX 20042 KachelY + 1 28494 -2.18084131 1.23524372 -124.953003 70.774252
    Unten rechts KachelX + 1 20043 KachelY + 1 28494 -2.18079337 1.23524372 -124.950256 70.774252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23525951-1.23524372) × R
    1.578999999996e-05 × 6371000     		dl = 100.598089999745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23525951-1.23524372) × R
    1.578999999996e-05 × 6371000     		dr = 100.598089999745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.18084131--2.18079337) × cos(1.23525951) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.32927609779396 × 6371000     		do = 100.569395832967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.18084131--2.18079337) × cos(1.23524372) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.329291007202793 × 6371000     		du = 100.573949550193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23525951)-sin(1.23524372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32927609779396-0.329291007202793)×R²
    abs(-2.18079337--2.18084131)×1.49094088333079e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49094088333079e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49094088333079e-05×40589641000000     		ar = 10117.3181810573m²