Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20042 / 20558
↖ ↑ ↗
← S 41.623655°
E 40.187989°		 ← 913.16 m → S 41.623655°
E 40.198974°		 →
↑
913.16 m
↓
↑
913.16 m
↓
S 41.631867°
E 40.187989°		 ← 913.04 m →
833 801 m²		 S 41.631867°
E 40.198974°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611648559570312 y=0.627395629882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611648559570312 × 215)
    floor (0.611648559570312 × 32768)
    floor (20042.5)     		tx = 20042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627395629882812 × 215)
    floor (0.627395629882812 × 32768)
    floor (20558.5)     		ty = 20558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20042 / 20558 ti = "15/20042/20558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20042/20558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20042 ÷ 215
    20042 ÷ 32768     		x = 0.61163330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20558 ÷ 215
    20558 ÷ 32768     		y = 0.62738037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61163330078125 × 2 - 1) × π
    0.2232666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.70141272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62738037109375 × 2 - 1) × π
    -0.2547607421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.800354476056457
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70141272} λ = 0.70141272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.800354476056457))-π/2
    2×atan(0.449169715984462)-π/2
    2×0.422163246764516-π/2
    0.844326493529033-1.57079632675     		φ = -0.72646983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70141272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.187989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72646983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.623655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20042 KachelY 20558 0.70141272 -0.72646983 40.187989 -41.623655
    Oben rechts KachelX + 1 20043 KachelY 20558 0.70160446 -0.72646983 40.198974 -41.623655
    Unten links KachelX 20042 KachelY + 1 20559 0.70141272 -0.72661316 40.187989 -41.631867
    Unten rechts KachelX + 1 20043 KachelY + 1 20559 0.70160446 -0.72661316 40.198974 -41.631867
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72646983--0.72661316) × R
    0.000143329999999997 × 6371000     		dl = 913.155429999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72646983--0.72661316) × R
    0.000143329999999997 × 6371000     		dr = 913.155429999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70141272-0.70160446) × cos(-0.72646983) × R
    0.000191739999999996 × 0.747523917420415 × 6371000     		do = 913.156933085739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70141272-0.70160446) × cos(-0.72661316) × R
    0.000191739999999996 × 0.747428704955174 × 6371000     		du = 913.040623867097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72646983)-sin(-0.72661316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747523917420415-0.747428704955174)×R²
    abs(0.70160446-0.70141272)×9.52124652414676e-05×R²
    0.000191739999999996×9.52124652414676e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.52124652414676e-05×40589641000000     		ar = 833801.109118887m²