Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 20041 / 28494
↖ ↑ ↗
← N 70.774252°
W124.955750°		 ← 100.57 m → N 70.774252°
W124.953003°		 →
↑
100.53 m
↓
↑
100.53 m
↓
N 70.773348°
W124.955750°		 ← 100.58 m →
10 111 m²		 N 70.773348°
W124.953003°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.152904510498047 y=0.217395782470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.152904510498047 × 217)
    floor (0.152904510498047 × 131072)
    floor (20041.5)     		tx = 20041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217395782470703 × 217)
    floor (0.217395782470703 × 131072)
    floor (28494.5)     		ty = 28494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20041 / 28494 ti = "17/20041/28494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20041/28494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20041 ÷ 217
    20041 ÷ 131072     		x = 0.152900695800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28494 ÷ 217
    28494 ÷ 131072     		y = 0.217391967773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.152900695800781 × 2 - 1) × π
    -0.694198608398438 × 3.1415926535     		Λ = -2.18088925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217391967773438 × 2 - 1) × π
    0.565216064453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.77567863572612
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.18088925} λ = -2.18088925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77567863572612))-π/2
    2×atan(5.90428663687644)-π/2
    2×1.40302002408387-π/2
    2.80604004816774-1.57079632675     		φ = 1.23524372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.18088925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.955750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23524372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.774252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20041 KachelY 28494 -2.18088925 1.23524372 -124.955750 70.774252
    Oben rechts KachelX + 1 20042 KachelY 28494 -2.18084131 1.23524372 -124.953003 70.774252
    Unten links KachelX 20041 KachelY + 1 28495 -2.18088925 1.23522794 -124.955750 70.773348
    Unten rechts KachelX + 1 20042 KachelY + 1 28495 -2.18084131 1.23522794 -124.953003 70.773348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23524372-1.23522794) × R
    1.57800000000208e-05 × 6371000     		dl = 100.534380000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23524372-1.23522794) × R
    1.57800000000208e-05 × 6371000     		dr = 100.534380000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.18088925--2.18084131) × cos(1.23524372) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.329291007202793 × 6371000     		do = 100.573949550193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.18088925--2.18084131) × cos(1.23522794) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.329305907087294 × 6371000     		du = 100.578500358442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23524372)-sin(1.23522794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329291007202793-0.329305907087294)×R²
    abs(-2.18084131--2.18088925)×1.48998845003745e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48998845003745e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48998845003745e-05×40589641000000     		ar = 10111.3684186018m²