Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20041 / 20647
↖ ↑ ↗
← S 42.350425°
E 40.177002°		 ← 902.84 m → S 42.350425°
E 40.187989°		 →
↑
902.77 m
↓
↑
902.77 m
↓
S 42.358544°
E 40.177002°		 ← 902.72 m →
815 003 m²		 S 42.358544°
E 40.187989°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611618041992188 y=0.630111694335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611618041992188 × 215)
    floor (0.611618041992188 × 32768)
    floor (20041.5)     		tx = 20041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630111694335938 × 215)
    floor (0.630111694335938 × 32768)
    floor (20647.5)     		ty = 20647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20041 / 20647 ti = "15/20041/20647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20041/20647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20041 ÷ 215
    20041 ÷ 32768     		x = 0.611602783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20647 ÷ 215
    20647 ÷ 32768     		y = 0.630096435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611602783203125 × 2 - 1) × π
    0.22320556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.70122097
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630096435546875 × 2 - 1) × π
    -0.26019287109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.817420012321198
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70122097} λ = 0.70122097}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.817420012321198))-π/2
    2×atan(0.441569429840033)-π/2
    2×0.415820984403179-π/2
    0.831641968806357-1.57079632675     		φ = -0.73915436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70122097} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.177002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73915436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.350425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20041 KachelY 20647 0.70122097 -0.73915436 40.177002 -42.350425
    Oben rechts KachelX + 1 20042 KachelY 20647 0.70141272 -0.73915436 40.187989 -42.350425
    Unten links KachelX 20041 KachelY + 1 20648 0.70122097 -0.73929606 40.177002 -42.358544
    Unten rechts KachelX + 1 20042 KachelY + 1 20648 0.70141272 -0.73929606 40.187989 -42.358544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73915436--0.73929606) × R
    0.000141700000000022 × 6371000     		dl = 902.770700000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73915436--0.73929606) × R
    0.000141700000000022 × 6371000     		dr = 902.770700000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70122097-0.70141272) × cos(-0.73915436) × R
    0.000191749999999935 × 0.739038499449212 × 6371000     		do = 902.838438187955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70122097-0.70141272) × cos(-0.73929606) × R
    0.000191749999999935 × 0.738943033955681 × 6371000     		du = 902.721813794036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73915436)-sin(-0.73929606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739038499449212-0.738943033955681)×R²
    abs(0.70141272-0.70122097)×9.54654935313437e-05×R²
    0.000191749999999935×9.54654935313437e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.54654935313437e-05×40589641000000     		ar = 815003.447650813m²