Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 20038 / 13886
↖ ↑ ↗
← N 71.416678°
W 69.927978°		 ← 194.65 m → N 71.416678°
W 69.922485°		 →
↑
194.70 m
↓
↑
194.70 m
↓
N 71.414928°
W 69.927978°		 ← 194.67 m →
37 899 m²		 N 71.414928°
W 69.922485°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.305763244628906 y=0.211891174316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.305763244628906 × 216)
    floor (0.305763244628906 × 65536)
    floor (20038.5)     		tx = 20038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.211891174316406 × 216)
    floor (0.211891174316406 × 65536)
    floor (13886.5)     		ty = 13886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 20038 / 13886 ti = "16/20038/13886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/20038/13886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20038 ÷ 216
    20038 ÷ 65536     		x = 0.305755615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13886 ÷ 216
    13886 ÷ 65536     		y = 0.211883544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.305755615234375 × 2 - 1) × π
    -0.38848876953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.22047346
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.211883544921875 × 2 - 1) × π
    0.57623291015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.8102890772518
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.22047346} λ = -1.22047346}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8102890772518))-π/2
    2×atan(6.11221407891797)-π/2
    2×1.40862625208584-π/2
    2.81725250417168-1.57079632675     		φ = 1.24645618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.22047346} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -69.927978°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24645618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.416678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20038 KachelY 13886 -1.22047346 1.24645618 -69.927978 71.416678
    Oben rechts KachelX + 1 20039 KachelY 13886 -1.22037759 1.24645618 -69.922485 71.416678
    Unten links KachelX 20038 KachelY + 1 13887 -1.22047346 1.24642562 -69.927978 71.414928
    Unten rechts KachelX + 1 20039 KachelY + 1 13887 -1.22037759 1.24642562 -69.922485 71.414928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24645618-1.24642562) × R
    3.05600000001238e-05 × 6371000     		dl = 194.697760000789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24645618-1.24642562) × R
    3.05600000001238e-05 × 6371000     		dr = 194.697760000789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.22047346--1.22037759) × cos(1.24645618) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.318683406018717 × 6371000     		do = 194.647926898172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.22047346--1.22037759) × cos(1.24642562) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.318712372508693 × 6371000     		du = 194.66561927599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24645618)-sin(1.24642562))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318683406018717-0.318712372508693)×R²
    abs(-1.22037759--1.22047346)×2.89664899763009e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.89664899763009e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.89664899763009e-05×40589641000000     		ar = 37899.2376920459m²