Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20037 / 20577
↖ ↑ ↗
← S 41.779505°
E 40.133057°		 ← 910.95 m → S 41.779505°
E 40.144043°		 →
↑
910.93 m
↓
↑
910.93 m
↓
S 41.787697°
E 40.133057°		 ← 910.83 m →
829 751 m²		 S 41.787697°
E 40.144043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20037 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611495971679688 y=0.627975463867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611495971679688 × 215)
    floor (0.611495971679688 × 32768)
    floor (20037.5)     		tx = 20037
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627975463867188 × 215)
    floor (0.627975463867188 × 32768)
    floor (20577.5)     		ty = 20577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20037 / 20577 ti = "15/20037/20577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20037/20577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20037 ÷ 215
    20037 ÷ 32768     		x = 0.611480712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20577 ÷ 215
    20577 ÷ 32768     		y = 0.627960205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611480712890625 × 2 - 1) × π
    0.22296142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.70045398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627960205078125 × 2 - 1) × π
    -0.25592041015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.803997680427582
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70045398} λ = 0.70045398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.803997680427582))-π/2
    2×atan(0.447536276196011)-π/2
    2×0.420803203524512-π/2
    0.841606407049023-1.57079632675     		φ = -0.72918992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70045398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.133057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72918992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.779505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20037 KachelY 20577 0.70045398 -0.72918992 40.133057 -41.779505
    Oben rechts KachelX + 1 20038 KachelY 20577 0.70064572 -0.72918992 40.144043 -41.779505
    Unten links KachelX 20037 KachelY + 1 20578 0.70045398 -0.72933290 40.133057 -41.787697
    Unten rechts KachelX + 1 20038 KachelY + 1 20578 0.70064572 -0.72933290 40.144043 -41.787697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72918992--0.72933290) × R
    0.000142979999999904 × 6371000     		dl = 910.925579999387m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72918992--0.72933290) × R
    0.000142979999999904 × 6371000     		dr = 910.925579999387m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70045398-0.70064572) × cos(-0.72918992) × R
    0.000191739999999996 × 0.745714375536971 × 6371000     		do = 910.946440982318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70045398-0.70064572) × cos(-0.72933290) × R
    0.000191739999999996 × 0.745619105235737 × 6371000     		du = 910.830061112643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72918992)-sin(-0.72933290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.745714375536971-0.745619105235737)×R²
    abs(0.70064572-0.70045398)×9.52703012333522e-05×R²
    0.000191739999999996×9.52703012333522e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.52703012333522e-05×40589641000000     		ar = 829751.409813548m²