Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20036 / 20579
↖ ↑ ↗
← S 41.795888°
E 40.122070°		 ← 910.76 m → S 41.795888°
E 40.133057°		 →
↑
910.67 m
↓
↑
910.67 m
↓
S 41.804078°
E 40.122070°		 ← 910.64 m →
829 351 m²		 S 41.804078°
E 40.133057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20036 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611465454101562 y=0.628036499023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611465454101562 × 215)
    floor (0.611465454101562 × 32768)
    floor (20036.5)     		tx = 20036
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628036499023438 × 215)
    floor (0.628036499023438 × 32768)
    floor (20579.5)     		ty = 20579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20036 / 20579 ti = "15/20036/20579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20036/20579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20036 ÷ 215
    20036 ÷ 32768     		x = 0.6114501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20579 ÷ 215
    20579 ÷ 32768     		y = 0.628021240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6114501953125 × 2 - 1) × π
    0.222900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.70026223
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628021240234375 × 2 - 1) × π
    -0.25604248046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.804381175624542
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70026223} λ = 0.70026223}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.804381175624542))-π/2
    2×atan(0.447364681088677)-π/2
    2×0.420660232851743-π/2
    0.841320465703485-1.57079632675     		φ = -0.72947586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70026223} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.122070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72947586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.795888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20036 KachelY 20579 0.70026223 -0.72947586 40.122070 -41.795888
    Oben rechts KachelX + 1 20037 KachelY 20579 0.70045398 -0.72947586 40.133057 -41.795888
    Unten links KachelX 20036 KachelY + 1 20580 0.70026223 -0.72961880 40.122070 -41.804078
    Unten rechts KachelX + 1 20037 KachelY + 1 20580 0.70045398 -0.72961880 40.133057 -41.804078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72947586--0.72961880) × R
    0.000142940000000036 × 6371000     		dl = 910.670740000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72947586--0.72961880) × R
    0.000142940000000036 × 6371000     		dr = 910.670740000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70026223-0.70045398) × cos(-0.72947586) × R
    0.000191750000000046 × 0.745523833021183 × 6371000     		do = 910.761176229342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70026223-0.70045398) × cos(-0.72961880) × R
    0.000191750000000046 × 0.74542855890165 × 6371000     		du = 910.644785625411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72947586)-sin(-0.72961880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.745523833021183-0.74542855890165)×R²
    abs(0.70045398-0.70026223)×9.52741195330287e-05×R²
    0.000191750000000046×9.52741195330287e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.52741195330287e-05×40589641000000     		ar = 829350.558973627m²