Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20034 / 20603
↖ ↑ ↗
← S 41.992160°
E 40.100097°		 ← 907.97 m → S 41.992160°
E 40.111084°		 →
↑
907.87 m
↓
↑
907.87 m
↓
S 42.000325°
E 40.100097°		 ← 907.85 m →
824 261 m²		 S 42.000325°
E 40.111084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20034 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611404418945312 y=0.628768920898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611404418945312 × 215)
    floor (0.611404418945312 × 32768)
    floor (20034.5)     		tx = 20034
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628768920898438 × 215)
    floor (0.628768920898438 × 32768)
    floor (20603.5)     		ty = 20603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20034 / 20603 ti = "15/20034/20603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20034/20603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20034 ÷ 215
    20034 ÷ 32768     		x = 0.61138916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20603 ÷ 215
    20603 ÷ 32768     		y = 0.628753662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61138916015625 × 2 - 1) × π
    0.2227783203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.69987873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628753662109375 × 2 - 1) × π
    -0.25750732421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.808983117988068
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69987873} λ = 0.69987873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.808983117988068))-π/2
    2×atan(0.445310664468853)-π/2
    2×0.418947435357318-π/2
    0.837894870714635-1.57079632675     		φ = -0.73290146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69987873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.100097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73290146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.992160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20034 KachelY 20603 0.69987873 -0.73290146 40.100097 -41.992160
    Oben rechts KachelX + 1 20035 KachelY 20603 0.70007048 -0.73290146 40.111084 -41.992160
    Unten links KachelX 20034 KachelY + 1 20604 0.69987873 -0.73304396 40.100097 -42.000325
    Unten rechts KachelX + 1 20035 KachelY + 1 20604 0.70007048 -0.73304396 40.111084 -42.000325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73290146--0.73304396) × R
    0.000142500000000045 × 6371000     		dl = 907.867500000289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73290146--0.73304396) × R
    0.000142500000000045 × 6371000     		dr = 907.867500000289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69987873-0.70007048) × cos(-0.73290146) × R
    0.000191750000000046 × 0.743236372876477 × 6371000     		do = 907.966725133758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69987873-0.70007048) × cos(-0.73304396) × R
    0.000191750000000046 × 0.743141028709716 × 6371000     		du = 907.850248957384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73290146)-sin(-0.73304396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.743236372876477-0.743141028709716)×R²
    abs(0.70007048-0.69987873)×9.53441667613797e-05×R²
    0.000191750000000046×9.53441667613797e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.53441667613797e-05×40589641000000     		ar = 824260.609757527m²