Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20033 / 28487
↖ ↑ ↗
← N 70.780582°
W124.977722°		 ← 100.52 m → N 70.780582°
W124.974976°		 →
↑
100.53 m
↓
↑
100.53 m
↓
N 70.779678°
W124.977722°		 ← 100.53 m →
10 106 m²		 N 70.779678°
W124.974976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20033 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.152843475341797 y=0.217342376708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.152843475341797 × 217)
    floor (0.152843475341797 × 131072)
    floor (20033.5)     		tx = 20033
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217342376708984 × 217)
    floor (0.217342376708984 × 131072)
    floor (28487.5)     		ty = 28487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20033 / 28487 ti = "17/20033/28487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20033/28487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20033 ÷ 217
    20033 ÷ 131072     		x = 0.152839660644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28487 ÷ 217
    28487 ÷ 131072     		y = 0.217338562011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.152839660644531 × 2 - 1) × π
    -0.694320678710938 × 3.1415926535     		Λ = -2.18127274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217338562011719 × 2 - 1) × π
    0.565322875976562 × 3.1415926535     		Φ = 1.77601419402346
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.18127274} λ = -2.18127274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77601419402346))-π/2
    2×atan(5.90626820169398)-π/2
    2×1.4030752634968-π/2
    2.8061505269936-1.57079632675     		φ = 1.23535420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.18127274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.977722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23535420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.780582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20033 KachelY 28487 -2.18127274 1.23535420 -124.977722 70.780582
    Oben rechts KachelX + 1 20034 KachelY 28487 -2.18122481 1.23535420 -124.974976 70.780582
    Unten links KachelX 20033 KachelY + 1 28488 -2.18127274 1.23533842 -124.977722 70.779678
    Unten rechts KachelX + 1 20034 KachelY + 1 28488 -2.18122481 1.23533842 -124.974976 70.779678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23535420-1.23533842) × R
    1.57800000000208e-05 × 6371000     		dl = 100.534380000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23535420-1.23533842) × R
    1.57800000000208e-05 × 6371000     		dr = 100.534380000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.18127274--2.18122481) × cos(1.23535420) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.329186686830307 × 6371000     		do = 100.521114939538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.18127274--2.18122481) × cos(1.23533842) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.329201587288807 × 6371000     		du = 100.525664973794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23535420)-sin(1.23533842))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329186686830307-0.329201587288807)×R²
    abs(-2.18122481--2.18127274)×1.49004584998891e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.49004584998891e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.49004584998891e-05×40589641000000     		ar = 10106.0566850314m²