Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20033 / 20600
↖ ↑ ↗
← S 41.967659°
E 40.089112°		 ← 908.27 m → S 41.967659°
E 40.100097°		 →
↑
908.25 m
↓
↑
908.25 m
↓
S 41.975827°
E 40.089112°		 ← 908.15 m →
824 882 m²		 S 41.975827°
E 40.100097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20033 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611373901367188 y=0.628677368164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611373901367188 × 215)
    floor (0.611373901367188 × 32768)
    floor (20033.5)     		tx = 20033
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628677368164062 × 215)
    floor (0.628677368164062 × 32768)
    floor (20600.5)     		ty = 20600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20033 / 20600 ti = "15/20033/20600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20033/20600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20033 ÷ 215
    20033 ÷ 32768     		x = 0.611358642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20600 ÷ 215
    20600 ÷ 32768     		y = 0.628662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611358642578125 × 2 - 1) × π
    0.22271728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69968699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628662109375 × 2 - 1) × π
    -0.25732421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.808407875192627
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69968699} λ = 0.69968699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.808407875192627))-π/2
    2×atan(0.445566899912052)-π/2
    2×0.419161247176495-π/2
    0.838322494352991-1.57079632675     		φ = -0.73247383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69968699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.089112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73247383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.967659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20033 KachelY 20600 0.69968699 -0.73247383 40.089112 -41.967659
    Oben rechts KachelX + 1 20034 KachelY 20600 0.69987873 -0.73247383 40.100097 -41.967659
    Unten links KachelX 20033 KachelY + 1 20601 0.69968699 -0.73261639 40.089112 -41.975827
    Unten rechts KachelX + 1 20034 KachelY + 1 20601 0.69987873 -0.73261639 40.100097 -41.975827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73247383--0.73261639) × R
    0.000142560000000014 × 6371000     		dl = 908.249760000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73247383--0.73261639) × R
    0.000142560000000014 × 6371000     		dr = 908.249760000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69968699-0.69987873) × cos(-0.73247383) × R
    0.000191739999999996 × 0.743522401747397 × 6371000     		do = 908.268779416654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69968699-0.69987873) × cos(-0.73261639) × R
    0.000191739999999996 × 0.743427062748227 × 6371000     		du = 908.152315627259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73247383)-sin(-0.73261639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.743522401747397-0.743427062748227)×R²
    abs(0.69987873-0.69968699)×9.5338999170469e-05×R²
    0.000191739999999996×9.5338999170469e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.5338999170469e-05×40589641000000     		ar = 824882.013213641m²