Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 20033 / 13887
↖ ↑ ↗
← N 71.414928°
W 69.955444°		 ← 194.67 m → N 71.414928°
W 69.949951°		 →
↑
194.63 m
↓
↑
194.63 m
↓
N 71.413177°
W 69.955444°		 ← 194.68 m →
37 890 m²		 N 71.413177°
W 69.949951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20033 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.305686950683594 y=0.211906433105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.305686950683594 × 216)
    floor (0.305686950683594 × 65536)
    floor (20033.5)     		tx = 20033
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.211906433105469 × 216)
    floor (0.211906433105469 × 65536)
    floor (13887.5)     		ty = 13887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 20033 / 13887 ti = "16/20033/13887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/20033/13887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20033 ÷ 216
    20033 ÷ 65536     		x = 0.305679321289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13887 ÷ 216
    13887 ÷ 65536     		y = 0.211898803710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.305679321289062 × 2 - 1) × π
    -0.388641357421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.22095283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.211898803710938 × 2 - 1) × π
    0.576202392578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.81019320345256
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.22095283} λ = -1.22095283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81019320345256))-π/2
    2×atan(6.11162810582264)-π/2
    2×1.40861097469712-π/2
    2.81722194939425-1.57079632675     		φ = 1.24642562
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.22095283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -69.955444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24642562 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.414928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20033 KachelY 13887 -1.22095283 1.24642562 -69.955444 71.414928
    Oben rechts KachelX + 1 20034 KachelY 13887 -1.22085696 1.24642562 -69.949951 71.414928
    Unten links KachelX 20033 KachelY + 1 13888 -1.22095283 1.24639507 -69.955444 71.413177
    Unten rechts KachelX + 1 20034 KachelY + 1 13888 -1.22085696 1.24639507 -69.949951 71.413177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24642562-1.24639507) × R
    3.05499999999626e-05 × 6371000     		dl = 194.634049999761m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24642562-1.24639507) × R
    3.05499999999626e-05 × 6371000     		dr = 194.634049999761m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.22095283--1.22085696) × cos(1.24642562) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.318712372508693 × 6371000     		do = 194.66561927599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.22095283--1.22085696) × cos(1.24639507) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.318741329222602 × 6371000     		du = 194.683305682705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24642562)-sin(1.24639507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318712372508693-0.318741329222602)×R²
    abs(-1.22085696--1.22095283)×2.89567139089564e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.89567139089564e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.89567139089564e-05×40589641000000     		ar = 37890.2790669695m²