Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20032 / 20916
↖ ↑ ↗
← S 44.496505°
E 40.078125°		 ← 871.39 m → S 44.496505°
E 40.089112°		 →
↑
871.36 m
↓
↑
871.36 m
↓
S 44.504341°
E 40.078125°		 ← 871.27 m →
759 242 m²		 S 44.504341°
E 40.089112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20916 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611343383789062 y=0.638320922851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611343383789062 × 215)
    floor (0.611343383789062 × 32768)
    floor (20032.5)     		tx = 20032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638320922851562 × 215)
    floor (0.638320922851562 × 32768)
    floor (20916.5)     		ty = 20916
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20032 / 20916 ti = "15/20032/20916"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20032/20916.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20032 ÷ 215
    20032 ÷ 32768     		x = 0.611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20916 ÷ 215
    20916 ÷ 32768     		y = 0.6383056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611328125 × 2 - 1) × π
    0.22265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69949524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6383056640625 × 2 - 1) × π
    -0.276611328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.869000116312378
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69949524} λ = 0.69949524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.869000116312378))-π/2
    2×atan(0.419370661564502)-π/2
    2×0.397092901576911-π/2
    0.794185803153823-1.57079632675     		φ = -0.77661052
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69949524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.078125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77661052 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.496505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20032 KachelY 20916 0.69949524 -0.77661052 40.078125 -44.496505
    Oben rechts KachelX + 1 20033 KachelY 20916 0.69968699 -0.77661052 40.089112 -44.496505
    Unten links KachelX 20032 KachelY + 1 20917 0.69949524 -0.77674729 40.078125 -44.504341
    Unten rechts KachelX + 1 20033 KachelY + 1 20917 0.69968699 -0.77674729 40.089112 -44.504341
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77661052--0.77674729) × R
    0.000136770000000008 × 6371000     		dl = 871.361670000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77661052--0.77674729) × R
    0.000136770000000008 × 6371000     		dr = 871.361670000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69949524-0.69968699) × cos(-0.77661052) × R
    0.000191750000000046 × 0.71329320128603 × 6371000     		do = 871.386971449374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69949524-0.69968699) × cos(-0.77674729) × R
    0.000191750000000046 × 0.713197337205334 × 6371000     		du = 871.269860125731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77661052)-sin(-0.77674729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71329320128603-0.713197337205334)×R²
    abs(0.69968699-0.69949524)×9.5864080696284e-05×R²
    0.000191750000000046×9.5864080696284e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.5864080696284e-05×40589641000000     		ar = 759242.184682407m²