Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 20031 / 13899
↖ ↑ ↗
← N 71.393907°
W 69.966431°		 ← 194.88 m → N 71.393907°
W 69.960938°		 →
↑
194.89 m
↓
↑
194.89 m
↓
N 71.392155°
W 69.966431°		 ← 194.90 m →
37 981 m²		 N 71.392155°
W 69.960938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13899 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.305656433105469 y=0.212089538574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.305656433105469 × 216)
    floor (0.305656433105469 × 65536)
    floor (20031.5)     		tx = 20031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.212089538574219 × 216)
    floor (0.212089538574219 × 65536)
    floor (13899.5)     		ty = 13899
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 20031 / 13899 ti = "16/20031/13899"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/20031/13899.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20031 ÷ 216
    20031 ÷ 65536     		x = 0.305648803710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13899 ÷ 216
    13899 ÷ 65536     		y = 0.212081909179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.305648803710938 × 2 - 1) × π
    -0.388702392578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.22114458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.212081909179688 × 2 - 1) × π
    0.575836181640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.80904271786168
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.22114458} λ = -1.22114458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80904271786168))-π/2
    2×atan(6.1046008089271)-π/2
    2×1.40842753770667-π/2
    2.81685507541335-1.57079632675     		φ = 1.24605875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.22114458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -69.966431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24605875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.393907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20031 KachelY 13899 -1.22114458 1.24605875 -69.966431 71.393907
    Oben rechts KachelX + 1 20032 KachelY 13899 -1.22104871 1.24605875 -69.960938 71.393907
    Unten links KachelX 20031 KachelY + 1 13900 -1.22114458 1.24602816 -69.966431 71.392155
    Unten rechts KachelX + 1 20032 KachelY + 1 13900 -1.22104871 1.24602816 -69.960938 71.392155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24605875-1.24602816) × R
    3.05899999999415e-05 × 6371000     		dl = 194.888889999627m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24605875-1.24602816) × R
    3.05899999999415e-05 × 6371000     		dr = 194.888889999627m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.22114458--1.22104871) × cos(1.24605875) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.319060089324161 × 6371000     		do = 194.878000454301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.22114458--1.22104871) × cos(1.24602816) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.319089080372859 × 6371000     		du = 194.895707832285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24605875)-sin(1.24602816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319060089324161-0.319089080372859)×R²
    abs(-1.22104871--1.22114458)×2.89910486978573e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.89910486978573e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.89910486978573e-05×40589641000000     		ar = 37981.2826822945m²