Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20030 / 20930
↖ ↑ ↗
← S 44.606113°
E 40.056152°		 ← 869.75 m → S 44.606113°
E 40.067139°		 →
↑
869.71 m
↓
↑
869.71 m
↓
S 44.613934°
E 40.056152°		 ← 869.63 m →
756 373 m²		 S 44.613934°
E 40.067139°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611282348632812 y=0.638748168945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611282348632812 × 215)
    floor (0.611282348632812 × 32768)
    floor (20030.5)     		tx = 20030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638748168945312 × 215)
    floor (0.638748168945312 × 32768)
    floor (20930.5)     		ty = 20930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20030 / 20930 ti = "15/20030/20930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20030/20930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20030 ÷ 215
    20030 ÷ 32768     		x = 0.61126708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20930 ÷ 215
    20930 ÷ 32768     		y = 0.63873291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61126708984375 × 2 - 1) × π
    0.2225341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.69911174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63873291015625 × 2 - 1) × π
    -0.2774658203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.871684582691101
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69911174} λ = 0.69911174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.871684582691101))-π/2
    2×atan(0.418246384840005)-π/2
    2×0.396136396446772-π/2
    0.792272792893543-1.57079632675     		φ = -0.77852353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69911174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.056152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77852353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.606113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20030 KachelY 20930 0.69911174 -0.77852353 40.056152 -44.606113
    Oben rechts KachelX + 1 20031 KachelY 20930 0.69930349 -0.77852353 40.067139 -44.606113
    Unten links KachelX 20030 KachelY + 1 20931 0.69911174 -0.77866004 40.056152 -44.613934
    Unten rechts KachelX + 1 20031 KachelY + 1 20931 0.69930349 -0.77866004 40.067139 -44.613934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77852353--0.77866004) × R
    0.000136510000000034 × 6371000     		dl = 869.705210000217m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77852353--0.77866004) × R
    0.000136510000000034 × 6371000     		dr = 869.705210000217m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69911174-0.69930349) × cos(-0.77852353) × R
    0.000191750000000046 × 0.711951133716377 × 6371000     		do = 869.747449030133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69911174-0.69930349) × cos(-0.77866004) × R
    0.000191750000000046 × 0.711855265800853 × 6371000     		du = 869.630333021713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77852353)-sin(-0.77866004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.711951133716377-0.711855265800853)×R²
    abs(0.69930349-0.69911174)×9.58679155244058e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58679155244058e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58679155244058e-05×40589641000000     		ar = 756372.960779104m²