Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 20030 / 13897
↖ ↑ ↗
← N 71.397412°
W 69.971924°		 ← 194.84 m → N 71.397412°
W 69.966431°		 →
↑
194.83 m
↓
↑
194.83 m
↓
N 71.395660°
W 69.971924°		 ← 194.86 m →
37 962 m²		 N 71.395660°
W 69.966431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.305641174316406 y=0.212059020996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.305641174316406 × 216)
    floor (0.305641174316406 × 65536)
    floor (20030.5)     		tx = 20030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.212059020996094 × 216)
    floor (0.212059020996094 × 65536)
    floor (13897.5)     		ty = 13897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 20030 / 13897 ti = "16/20030/13897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/20030/13897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20030 ÷ 216
    20030 ÷ 65536     		x = 0.305633544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13897 ÷ 216
    13897 ÷ 65536     		y = 0.212051391601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.305633544921875 × 2 - 1) × π
    -0.38873291015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.22124045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.212051391601562 × 2 - 1) × π
    0.575897216796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.80923446546016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.22124045} λ = -1.22124045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80923446546016))-π/2
    2×atan(6.10577146370342)-π/2
    2×1.40845812443045-π/2
    2.81691624886089-1.57079632675     		φ = 1.24611992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.22124045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -69.971924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24611992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.397412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20030 KachelY 13897 -1.22124045 1.24611992 -69.971924 71.397412
    Oben rechts KachelX + 1 20031 KachelY 13897 -1.22114458 1.24611992 -69.966431 71.397412
    Unten links KachelX 20030 KachelY + 1 13898 -1.22124045 1.24608934 -69.971924 71.395660
    Unten rechts KachelX + 1 20031 KachelY + 1 13898 -1.22114458 1.24608934 -69.966431 71.395660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24611992-1.24608934) × R
    3.05800000000023e-05 × 6371000     		dl = 194.825180000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24611992-1.24608934) × R
    3.05800000000023e-05 × 6371000     		dr = 194.825180000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.22124045--1.22114458) × cos(1.24611992) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.319002115808653 × 6371000     		do = 194.842590940045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.22124045--1.22114458) × cos(1.24608934) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.319031097976904 × 6371000     		du = 194.86029289396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24611992)-sin(1.24608934))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319002115808653-0.319031097976904)×R²
    abs(-1.22114458--1.22124045)×2.89821682504798e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.89821682504798e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.89821682504798e-05×40589641000000     		ar = 37961.9672477315m²