Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20028 / 20940
↖ ↑ ↗
← S 44.684277°
E 40.034180°		 ← 868.58 m → S 44.684277°
E 40.045166°		 →
↑
868.56 m
↓
↑
868.56 m
↓
S 44.692088°
E 40.034180°		 ← 868.46 m →
754 358 m²		 S 44.692088°
E 40.045166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611221313476562 y=0.639053344726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611221313476562 × 215)
    floor (0.611221313476562 × 32768)
    floor (20028.5)     		tx = 20028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639053344726562 × 215)
    floor (0.639053344726562 × 32768)
    floor (20940.5)     		ty = 20940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20028 / 20940 ti = "15/20028/20940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20028/20940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20028 ÷ 215
    20028 ÷ 32768     		x = 0.6112060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20940 ÷ 215
    20940 ÷ 32768     		y = 0.6390380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6112060546875 × 2 - 1) × π
    0.222412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.69872825
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6390380859375 × 2 - 1) × π
    -0.278076171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.873602058675903
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69872825} λ = 0.69872825}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.873602058675903))-π/2
    2×atan(0.41744517583634)-π/2
    2×0.395454281400064-π/2
    0.790908562800128-1.57079632675     		φ = -0.77988776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69872825} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.034180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77988776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.684277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20028 KachelY 20940 0.69872825 -0.77988776 40.034180 -44.684277
    Oben rechts KachelX + 1 20029 KachelY 20940 0.69892000 -0.77988776 40.045166 -44.684277
    Unten links KachelX 20028 KachelY + 1 20941 0.69872825 -0.78002409 40.034180 -44.692088
    Unten rechts KachelX + 1 20029 KachelY + 1 20941 0.69892000 -0.78002409 40.045166 -44.692088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77988776--0.78002409) × R
    0.000136329999999907 × 6371000     		dl = 868.558429999406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77988776--0.78002409) × R
    0.000136329999999907 × 6371000     		dr = 868.558429999406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69872825-0.69892000) × cos(-0.77988776) × R
    0.000191749999999935 × 0.710992469616143 × 6371000     		do = 868.576307337219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69872825-0.69892000) × cos(-0.78002409) × R
    0.000191749999999935 × 0.710896595804789 × 6371000     		du = 868.459184126221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77988776)-sin(-0.78002409))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710992469616143-0.710896595804789)×R²
    abs(0.69892000-0.69872825)×9.58738113542301e-05×R²
    0.000191749999999935×9.58738113542301e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.58738113542301e-05×40589641000000     		ar = 754358.410827609m²