Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20027 / 4727
↖ ↑ ↗
← N 77.788515°
E 40.023193°		 ← 258.40 m → N 77.788515°
E 40.034180°		 →
↑
258.41 m
↓
↑
258.41 m
↓
N 77.786191°
E 40.023193°		 ← 258.45 m →
66 779 m²		 N 77.786191°
E 40.034180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611190795898438 y=0.144271850585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611190795898438 × 215)
    floor (0.611190795898438 × 32768)
    floor (20027.5)     		tx = 20027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144271850585938 × 215)
    floor (0.144271850585938 × 32768)
    floor (4727.5)     		ty = 4727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20027 / 4727 ti = "15/20027/4727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20027/4727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20027 ÷ 215
    20027 ÷ 32768     		x = 0.611175537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4727 ÷ 215
    4727 ÷ 32768     		y = 0.144256591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611175537109375 × 2 - 1) × π
    0.22235107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.69853650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144256591796875 × 2 - 1) × π
    0.71148681640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.23520175548398
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69853650} λ = 0.69853650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23520175548398))-π/2
    2×atan(9.34836774640457)-π/2
    2×1.46423101300039-π/2
    2.92846202600078-1.57079632675     		φ = 1.35766570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69853650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.023193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35766570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.788515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20027 KachelY 4727 0.69853650 1.35766570 40.023193 77.788515
    Oben rechts KachelX + 1 20028 KachelY 4727 0.69872825 1.35766570 40.034180 77.788515
    Unten links KachelX 20027 KachelY + 1 4728 0.69853650 1.35762514 40.023193 77.786191
    Unten rechts KachelX + 1 20028 KachelY + 1 4728 0.69872825 1.35762514 40.034180 77.786191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35766570-1.35762514) × R
    4.05600000001893e-05 × 6371000     		dl = 258.407760001206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35766570-1.35762514) × R
    4.05600000001893e-05 × 6371000     		dr = 258.407760001206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69853650-0.69872825) × cos(1.35766570) × R
    0.000191750000000046 × 0.211520723093959 × 6371000     		do = 258.402017520024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69853650-0.69872825) × cos(1.35762514) × R
    0.000191750000000046 × 0.211560365189643 × 6371000     		du = 258.450445860064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35766570)-sin(1.35762514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211520723093959-0.211560365189643)×R²
    abs(0.69872825-0.69853650)×3.96420956843835e-05×R²
    0.000191750000000046×3.96420956843835e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.96420956843835e-05×40589641000000     		ar = 66779.3436654898m²