Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20027 / 20923
↖ ↑ ↗
← S 44.551335°
E 40.023193°		 ← 870.57 m → S 44.551335°
E 40.034180°		 →
↑
870.47 m
↓
↑
870.47 m
↓
S 44.559163°
E 40.023193°		 ← 870.45 m →
757 751 m²		 S 44.559163°
E 40.034180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611190795898438 y=0.638534545898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611190795898438 × 215)
    floor (0.611190795898438 × 32768)
    floor (20027.5)     		tx = 20027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638534545898438 × 215)
    floor (0.638534545898438 × 32768)
    floor (20923.5)     		ty = 20923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20027 / 20923 ti = "15/20027/20923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20027/20923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20027 ÷ 215
    20027 ÷ 32768     		x = 0.611175537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20923 ÷ 215
    20923 ÷ 32768     		y = 0.638519287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611175537109375 × 2 - 1) × π
    0.22235107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.69853650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638519287109375 × 2 - 1) × π
    -0.27703857421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.870342349501739
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69853650} λ = 0.69853650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.870342349501739))-π/2
    2×atan(0.418808145941927)-π/2
    2×0.396614423840787-π/2
    0.793228847681573-1.57079632675     		φ = -0.77756748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69853650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.023193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77756748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.551335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20027 KachelY 20923 0.69853650 -0.77756748 40.023193 -44.551335
    Oben rechts KachelX + 1 20028 KachelY 20923 0.69872825 -0.77756748 40.034180 -44.551335
    Unten links KachelX 20027 KachelY + 1 20924 0.69853650 -0.77770411 40.023193 -44.559163
    Unten rechts KachelX + 1 20028 KachelY + 1 20924 0.69872825 -0.77770411 40.034180 -44.559163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77756748--0.77770411) × R
    0.000136629999999971 × 6371000     		dl = 870.469729999815m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77756748--0.77770411) × R
    0.000136629999999971 × 6371000     		dr = 870.469729999815m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69853650-0.69872825) × cos(-0.77756748) × R
    0.000191750000000046 × 0.712622174286706 × 6371000     		do = 870.56721852919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69853650-0.69872825) × cos(-0.77770411) × R
    0.000191750000000046 × 0.7125263151283 × 6371000     		du = 870.450113218809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77756748)-sin(-0.77770411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712622174286706-0.7125263151283)×R²
    abs(0.69872825-0.69853650)×9.58591584055979e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58591584055979e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58591584055979e-05×40589641000000     		ar = 757751.444524641m²