Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20026 / 20989
↖ ↑ ↗
← S 45.065762°
E 40.012207°		 ← 862.84 m → S 45.065762°
E 40.023193°		 →
↑
862.76 m
↓
↑
862.76 m
↓
S 45.073521°
E 40.012207°		 ← 862.72 m →
744 372 m²		 S 45.073521°
E 40.023193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611160278320312 y=0.640548706054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611160278320312 × 215)
    floor (0.611160278320312 × 32768)
    floor (20026.5)     		tx = 20026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640548706054688 × 215)
    floor (0.640548706054688 × 32768)
    floor (20989.5)     		ty = 20989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20026 / 20989 ti = "15/20026/20989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20026/20989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20026 ÷ 215
    20026 ÷ 32768     		x = 0.61114501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20989 ÷ 215
    20989 ÷ 32768     		y = 0.640533447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61114501953125 × 2 - 1) × π
    0.2222900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69834475
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640533447265625 × 2 - 1) × π
    -0.28106689453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.882997691001434
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69834475} λ = 0.69834475}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.882997691001434))-π/2
    2×atan(0.413541382469872)-π/2
    2×0.392125203943324-π/2
    0.784250407886647-1.57079632675     		φ = -0.78654592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69834475} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.012207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78654592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.065762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20026 KachelY 20989 0.69834475 -0.78654592 40.012207 -45.065762
    Oben rechts KachelX + 1 20027 KachelY 20989 0.69853650 -0.78654592 40.023193 -45.065762
    Unten links KachelX 20026 KachelY + 1 20990 0.69834475 -0.78668134 40.012207 -45.073521
    Unten rechts KachelX + 1 20027 KachelY + 1 20990 0.69853650 -0.78668134 40.023193 -45.073521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78654592--0.78668134) × R
    0.000135419999999997 × 6371000     		dl = 862.760819999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78654592--0.78668134) × R
    0.000135419999999997 × 6371000     		dr = 862.760819999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69834475-0.69853650) × cos(-0.78654592) × R
    0.000191750000000046 × 0.706294729136104 × 6371000     		do = 862.837363180991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69834475-0.69853650) × cos(-0.78668134) × R
    0.000191750000000046 × 0.706198856417924 × 6371000     		du = 862.720241305458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78654592)-sin(-0.78668134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706294729136104-0.706198856417924)×R²
    abs(0.69853650-0.69834475)×9.58727181796792e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58727181796792e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58727181796792e-05×40589641000000     		ar = 744371.748039887m²