Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20026 / 20942
↖ ↑ ↗
← S 44.699898°
E 40.012207°		 ← 868.34 m → S 44.699898°
E 40.023193°		 →
↑
868.24 m
↓
↑
868.24 m
↓
S 44.707706°
E 40.012207°		 ← 868.22 m →
753 878 m²		 S 44.707706°
E 40.023193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611160278320312 y=0.639114379882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611160278320312 × 215)
    floor (0.611160278320312 × 32768)
    floor (20026.5)     		tx = 20026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639114379882812 × 215)
    floor (0.639114379882812 × 32768)
    floor (20942.5)     		ty = 20942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20026 / 20942 ti = "15/20026/20942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20026/20942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20026 ÷ 215
    20026 ÷ 32768     		x = 0.61114501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20942 ÷ 215
    20942 ÷ 32768     		y = 0.63909912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61114501953125 × 2 - 1) × π
    0.2222900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69834475
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63909912109375 × 2 - 1) × π
    -0.2781982421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.873985553872864
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69834475} λ = 0.69834475}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.873985553872864))-π/2
    2×atan(0.417285118309021)-π/2
    2×0.395317968684507-π/2
    0.790635937369013-1.57079632675     		φ = -0.78016039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69834475} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.012207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78016039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.699898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20026 KachelY 20942 0.69834475 -0.78016039 40.012207 -44.699898
    Oben rechts KachelX + 1 20027 KachelY 20942 0.69853650 -0.78016039 40.023193 -44.699898
    Unten links KachelX 20026 KachelY + 1 20943 0.69834475 -0.78029667 40.012207 -44.707706
    Unten rechts KachelX + 1 20027 KachelY + 1 20943 0.69853650 -0.78029667 40.023193 -44.707706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78016039--0.78029667) × R
    0.000136279999999989 × 6371000     		dl = 868.239879999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78016039--0.78029667) × R
    0.000136279999999989 × 6371000     		dr = 868.239879999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69834475-0.69853650) × cos(-0.78016039) × R
    0.000191750000000046 × 0.710800729882607 × 6371000     		do = 868.342070553449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69834475-0.69853650) × cos(-0.78029667) × R
    0.000191750000000046 × 0.710704864825196 × 6371000     		du = 868.224958036612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78016039)-sin(-0.78029667))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710800729882607-0.710704864825196)×R²
    abs(0.69853650-0.69834475)×9.58650574114372e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58650574114372e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58650574114372e-05×40589641000000     		ar = 753878.375424462m²