Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20025 / 4710
↖ ↑ ↗
← N 77.827957°
E 40.001221°		 ← 257.57 m → N 77.827957°
E 40.012207°		 →
↑
257.64 m
↓
↑
257.64 m
↓
N 77.825640°
E 40.001221°		 ← 257.61 m →
66 367 m²		 N 77.825640°
E 40.012207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611129760742188 y=0.143753051757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611129760742188 × 215)
    floor (0.611129760742188 × 32768)
    floor (20025.5)     		tx = 20025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143753051757812 × 215)
    floor (0.143753051757812 × 32768)
    floor (4710.5)     		ty = 4710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20025 / 4710 ti = "15/20025/4710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20025/4710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20025 ÷ 215
    20025 ÷ 32768     		x = 0.611114501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4710 ÷ 215
    4710 ÷ 32768     		y = 0.14373779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611114501953125 × 2 - 1) × π
    0.22222900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69815301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14373779296875 × 2 - 1) × π
    0.7125244140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.23846146465814
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69815301} λ = 0.69815301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23846146465814))-π/2
    2×atan(9.37889042701491)-π/2
    2×1.46457521240243-π/2
    2.92915042480486-1.57079632675     		φ = 1.35835410
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69815301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.001221°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35835410 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.827957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20025 KachelY 4710 0.69815301 1.35835410 40.001221 77.827957
    Oben rechts KachelX + 1 20026 KachelY 4710 0.69834475 1.35835410 40.012207 77.827957
    Unten links KachelX 20025 KachelY + 1 4711 0.69815301 1.35831366 40.001221 77.825640
    Unten rechts KachelX + 1 20026 KachelY + 1 4711 0.69834475 1.35831366 40.012207 77.825640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35835410-1.35831366) × R
    4.04399999998084e-05 × 6371000     		dl = 257.643239998779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35835410-1.35831366) × R
    4.04399999998084e-05 × 6371000     		dr = 257.643239998779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69815301-0.69834475) × cos(1.35835410) × R
    0.000191739999999996 × 0.210847849101568 × 6371000     		do = 257.566575124081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69815301-0.69834475) × cos(1.35831366) × R
    0.000191739999999996 × 0.210887379793146 × 6371000     		du = 257.614864849992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35835410)-sin(1.35831366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210847849101568-0.210887379793146)×R²
    abs(0.69834475-0.69815301)×3.953069157836e-05×R²
    0.000191739999999996×3.953069157836e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.953069157836e-05×40589641000000     		ar = 66366.5077003465m²