Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20025 / 4696
↖ ↑ ↗
← N 77.860345°
E 40.001221°		 ← 256.89 m → N 77.860345°
E 40.012207°		 →
↑
256.94 m
↓
↑
256.94 m
↓
N 77.858034°
E 40.001221°		 ← 256.94 m →
66 013 m²		 N 77.858034°
E 40.012207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611129760742188 y=0.143325805664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611129760742188 × 215)
    floor (0.611129760742188 × 32768)
    floor (20025.5)     		tx = 20025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143325805664062 × 215)
    floor (0.143325805664062 × 32768)
    floor (4696.5)     		ty = 4696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20025 / 4696 ti = "15/20025/4696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20025/4696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20025 ÷ 215
    20025 ÷ 32768     		x = 0.611114501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4696 ÷ 215
    4696 ÷ 32768     		y = 0.143310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611114501953125 × 2 - 1) × π
    0.22222900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69815301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143310546875 × 2 - 1) × π
    0.71337890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.24114593103687
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69815301} λ = 0.69815301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24114593103687))-π/2
    2×atan(9.40410156712491)-π/2
    2×1.46485784837387-π/2
    2.92971569674774-1.57079632675     		φ = 1.35891937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69815301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.001221°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35891937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.860345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20025 KachelY 4696 0.69815301 1.35891937 40.001221 77.860345
    Oben rechts KachelX + 1 20026 KachelY 4696 0.69834475 1.35891937 40.012207 77.860345
    Unten links KachelX 20025 KachelY + 1 4697 0.69815301 1.35887904 40.001221 77.858034
    Unten rechts KachelX + 1 20026 KachelY + 1 4697 0.69834475 1.35887904 40.012207 77.858034
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35891937-1.35887904) × R
    4.03300000000328e-05 × 6371000     		dl = 256.942430000209m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35891937-1.35887904) × R
    4.03300000000328e-05 × 6371000     		dr = 256.942430000209m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69815301-0.69834475) × cos(1.35891937) × R
    0.000191739999999996 × 0.210295253340699 × 6371000     		do = 256.891537659096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69815301-0.69834475) × cos(1.35887904) × R
    0.000191739999999996 × 0.210334681307057 × 6371000     		du = 256.939701898391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35891937)-sin(1.35887904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210295253340699-0.210334681307057)×R²
    abs(0.69834475-0.69815301)×3.94279663577801e-05×R²
    0.000191739999999996×3.94279663577801e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.94279663577801e-05×40589641000000     		ar = 66012.5236602287m²