Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20025 / 20941
↖ ↑ ↗
← S 44.692088°
E 40.001221°		 ← 868.41 m → S 44.692088°
E 40.012207°		 →
↑
868.37 m
↓
↑
868.37 m
↓
S 44.699898°
E 40.001221°		 ← 868.30 m →
754 051 m²		 S 44.699898°
E 40.012207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611129760742188 y=0.639083862304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611129760742188 × 215)
    floor (0.611129760742188 × 32768)
    floor (20025.5)     		tx = 20025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639083862304688 × 215)
    floor (0.639083862304688 × 32768)
    floor (20941.5)     		ty = 20941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20025 / 20941 ti = "15/20025/20941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20025/20941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20025 ÷ 215
    20025 ÷ 32768     		x = 0.611114501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20941 ÷ 215
    20941 ÷ 32768     		y = 0.639068603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611114501953125 × 2 - 1) × π
    0.22222900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69815301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639068603515625 × 2 - 1) × π
    -0.27813720703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.873793806274384
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69815301} λ = 0.69815301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.873793806274384))-π/2
    2×atan(0.417365139400019)-π/2
    2×0.395386120446658-π/2
    0.790772240893316-1.57079632675     		φ = -0.78002409
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69815301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.001221°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78002409 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.692088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20025 KachelY 20941 0.69815301 -0.78002409 40.001221 -44.692088
    Oben rechts KachelX + 1 20026 KachelY 20941 0.69834475 -0.78002409 40.012207 -44.692088
    Unten links KachelX 20025 KachelY + 1 20942 0.69815301 -0.78016039 40.001221 -44.699898
    Unten rechts KachelX + 1 20026 KachelY + 1 20942 0.69834475 -0.78016039 40.012207 -44.699898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78002409--0.78016039) × R
    0.000136300000000089 × 6371000     		dl = 868.367300000568m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78002409--0.78016039) × R
    0.000136300000000089 × 6371000     		dr = 868.367300000568m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69815301-0.69834475) × cos(-0.78002409) × R
    0.000191739999999996 × 0.710896595804789 × 6371000     		do = 868.413892904378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69815301-0.69834475) × cos(-0.78016039) × R
    0.000191739999999996 × 0.710800729882607 × 6371000     		du = 868.296785438721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78002409)-sin(-0.78016039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710896595804789-0.710800729882607)×R²
    abs(0.69834475-0.69815301)×9.58659221818037e-05×R²
    0.000191739999999996×9.58659221818037e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.58659221818037e-05×40589641000000     		ar = 754051.382484332m²