Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 20025 / 13882
↖ ↑ ↗
← N 71.423679°
W 69.999389°		 ← 194.58 m → N 71.423679°
W 69.993896°		 →
↑
194.57 m
↓
↑
194.57 m
↓
N 71.421930°
W 69.999389°		 ← 194.59 m →
37 861 m²		 N 71.421930°
W 69.993896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.305564880371094 y=0.211830139160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.305564880371094 × 216)
    floor (0.305564880371094 × 65536)
    floor (20025.5)     		tx = 20025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.211830139160156 × 216)
    floor (0.211830139160156 × 65536)
    floor (13882.5)     		ty = 13882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 20025 / 13882 ti = "16/20025/13882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/20025/13882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20025 ÷ 216
    20025 ÷ 65536     		x = 0.305557250976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13882 ÷ 216
    13882 ÷ 65536     		y = 0.211822509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.305557250976562 × 2 - 1) × π
    -0.388885498046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.22171982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.211822509765625 × 2 - 1) × π
    0.57635498046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.81067257244876
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.22171982} λ = -1.22171982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81067257244876))-π/2
    2×atan(6.11455853317477)-π/2
    2×1.40868734775913-π/2
    2.81737469551826-1.57079632675     		φ = 1.24657837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.22171982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -69.999389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24657837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.423679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20025 KachelY 13882 -1.22171982 1.24657837 -69.999389 71.423679
    Oben rechts KachelX + 1 20026 KachelY 13882 -1.22162395 1.24657837 -69.993896 71.423679
    Unten links KachelX 20025 KachelY + 1 13883 -1.22171982 1.24654783 -69.999389 71.421930
    Unten rechts KachelX + 1 20026 KachelY + 1 13883 -1.22162395 1.24654783 -69.993896 71.421930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24657837-1.24654783) × R
    3.05400000000233e-05 × 6371000     		dl = 194.570340000149m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24657837-1.24654783) × R
    3.05400000000233e-05 × 6371000     		dr = 194.570340000149m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.22171982--1.22162395) × cos(1.24657837) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.318567584477863 × 6371000     		do = 194.577184517516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.22171982--1.22162395) × cos(1.24654783) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.318596533199872 × 6371000     		du = 194.594866042877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24657837)-sin(1.24654783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318567584477863-0.318596533199872)×R²
    abs(-1.22162395--1.22171982)×2.89487220098694e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.89487220098694e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.89487220098694e-05×40589641000000     		ar = 37860.6691009496m²