Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20024 / 20566
↖ ↑ ↗
← S 41.689322°
E 39.990234°		 ← 912.27 m → S 41.689322°
E 40.001221°		 →
↑
912.20 m
↓
↑
912.20 m
↓
S 41.697526°
E 39.990234°		 ← 912.16 m →
832 123 m²		 S 41.697526°
E 40.001221°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611099243164062 y=0.627639770507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611099243164062 × 215)
    floor (0.611099243164062 × 32768)
    floor (20024.5)     		tx = 20024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627639770507812 × 215)
    floor (0.627639770507812 × 32768)
    floor (20566.5)     		ty = 20566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20024 / 20566 ti = "15/20024/20566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20024/20566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20024 ÷ 215
    20024 ÷ 32768     		x = 0.611083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20566 ÷ 215
    20566 ÷ 32768     		y = 0.62762451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611083984375 × 2 - 1) × π
    0.22216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.69796126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62762451171875 × 2 - 1) × π
    -0.2552490234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.801888456844299
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69796126} λ = 0.69796126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.801888456844299))-π/2
    2×atan(0.448481226469512)-π/2
    2×0.421590195225282-π/2
    0.843180390450565-1.57079632675     		φ = -0.72761594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69796126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.990234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72761594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.689322°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20024 KachelY 20566 0.69796126 -0.72761594 39.990234 -41.689322
    Oben rechts KachelX + 1 20025 KachelY 20566 0.69815301 -0.72761594 40.001221 -41.689322
    Unten links KachelX 20024 KachelY + 1 20567 0.69796126 -0.72775912 39.990234 -41.697526
    Unten rechts KachelX + 1 20025 KachelY + 1 20567 0.69815301 -0.72775912 40.001221 -41.697526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72761594--0.72775912) × R
    0.000143180000000021 × 6371000     		dl = 912.199780000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72761594--0.72775912) × R
    0.000143180000000021 × 6371000     		dr = 912.199780000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69796126-0.69815301) × cos(-0.72761594) × R
    0.000191749999999935 × 0.746762140372289 × 6371000     		do = 912.273941092489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69796126-0.69815301) × cos(-0.72775912) × R
    0.000191749999999935 × 0.746666904959946 × 6371000     		du = 912.15759777478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72761594)-sin(-0.72775912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746762140372289-0.746666904959946)×R²
    abs(0.69815301-0.69796126)×9.5235412343464e-05×R²
    0.000191749999999935×9.5235412343464e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.5235412343464e-05×40589641000000     		ar = 832123.025611747m²