Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20023 / 20567
↖ ↑ ↗
← S 41.697526°
E 39.979248°		 ← 912.16 m → S 41.697526°
E 39.990234°		 →
↑
912.07 m
↓
↑
912.07 m
↓
S 41.705729°
E 39.979248°		 ← 912.04 m →
831 901 m²		 S 41.705729°
E 39.990234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611068725585938 y=0.627670288085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611068725585938 × 215)
    floor (0.611068725585938 × 32768)
    floor (20023.5)     		tx = 20023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627670288085938 × 215)
    floor (0.627670288085938 × 32768)
    floor (20567.5)     		ty = 20567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20023 / 20567 ti = "15/20023/20567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20023/20567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20023 ÷ 215
    20023 ÷ 32768     		x = 0.611053466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20567 ÷ 215
    20567 ÷ 32768     		y = 0.627655029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611053466796875 × 2 - 1) × π
    0.22210693359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.69776951
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627655029296875 × 2 - 1) × π
    -0.25531005859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.80208020444278
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69776951} λ = 0.69776951}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.80208020444278))-π/2
    2×atan(0.448395239515533)-π/2
    2×0.421518604866811-π/2
    0.843037209733622-1.57079632675     		φ = -0.72775912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69776951} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.979248°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72775912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.697526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20023 KachelY 20567 0.69776951 -0.72775912 39.979248 -41.697526
    Oben rechts KachelX + 1 20024 KachelY 20567 0.69796126 -0.72775912 39.990234 -41.697526
    Unten links KachelX 20023 KachelY + 1 20568 0.69776951 -0.72790228 39.979248 -41.705729
    Unten rechts KachelX + 1 20024 KachelY + 1 20568 0.69796126 -0.72790228 39.990234 -41.705729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72775912--0.72790228) × R
    0.000143160000000031 × 6371000     		dl = 912.072360000198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72775912--0.72790228) × R
    0.000143160000000031 × 6371000     		dr = 912.072360000198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69776951-0.69796126) × cos(-0.72775912) × R
    0.000191750000000046 × 0.746666904959946 × 6371000     		do = 912.157597775309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69776951-0.69796126) × cos(-0.72790228) × R
    0.000191750000000046 × 0.746571667546648 × 6371000     		du = 912.041252013156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72775912)-sin(-0.72790228))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746666904959946-0.746571667546648)×R²
    abs(0.69796126-0.69776951)×9.52374132973111e-05×R²
    0.000191750000000046×9.52374132973111e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.52374132973111e-05×40589641000000     		ar = 831900.676438516m²