Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20022 / 20562
↖ ↑ ↗
← S 41.656497°
E 39.968262°		 ← 912.74 m → S 41.656497°
E 39.979248°		 →
↑
912.65 m
↓
↑
912.65 m
↓
S 41.664705°
E 39.968262°		 ← 912.62 m →
832 955 m²		 S 41.664705°
E 39.979248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611038208007812 y=0.627517700195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611038208007812 × 215)
    floor (0.611038208007812 × 32768)
    floor (20022.5)     		tx = 20022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627517700195312 × 215)
    floor (0.627517700195312 × 32768)
    floor (20562.5)     		ty = 20562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20022 / 20562 ti = "15/20022/20562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20022/20562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20022 ÷ 215
    20022 ÷ 32768     		x = 0.61102294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20562 ÷ 215
    20562 ÷ 32768     		y = 0.62750244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61102294921875 × 2 - 1) × π
    0.2220458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.69757776
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62750244140625 × 2 - 1) × π
    -0.2550048828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.801121466450378
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69757776} λ = 0.69757776}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.801121466450378))-π/2
    2×atan(0.448825339210782)-π/2
    2×0.421876647960872-π/2
    0.843753295921744-1.57079632675     		φ = -0.72704303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69757776} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.968262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72704303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.656497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20022 KachelY 20562 0.69757776 -0.72704303 39.968262 -41.656497
    Oben rechts KachelX + 1 20023 KachelY 20562 0.69776951 -0.72704303 39.979248 -41.656497
    Unten links KachelX 20022 KachelY + 1 20563 0.69757776 -0.72718628 39.968262 -41.664705
    Unten rechts KachelX + 1 20023 KachelY + 1 20563 0.69776951 -0.72718628 39.979248 -41.664705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72704303--0.72718628) × R
    0.000143249999999928 × 6371000     		dl = 912.645749999542m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72704303--0.72718628) × R
    0.000143249999999928 × 6371000     		dr = 912.645749999542m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69757776-0.69776951) × cos(-0.72704303) × R
    0.000191749999999935 × 0.747143055198113 × 6371000     		do = 912.739281594622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69757776-0.69776951) × cos(-0.72718628) × R
    0.000191749999999935 × 0.747047834519912 × 6371000     		du = 912.622956276721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72704303)-sin(-0.72718628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747143055198113-0.747047834519912)×R²
    abs(0.69776951-0.69757776)×9.52206782003362e-05×R²
    0.000191749999999935×9.52206782003362e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.52206782003362e-05×40589641000000     		ar = 832954.545726231m²