Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 20022 / 13908
↖ ↑ ↗
← N 71.378127°
W 70.015869°		 ← 195.06 m → N 71.378127°
W 70.010376°		 →
↑
195.08 m
↓
↑
195.08 m
↓
N 71.376373°
W 70.015869°		 ← 195.08 m →
38 054 m²		 N 71.376373°
W 70.010376°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.305519104003906 y=0.212226867675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.305519104003906 × 216)
    floor (0.305519104003906 × 65536)
    floor (20022.5)     		tx = 20022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.212226867675781 × 216)
    floor (0.212226867675781 × 65536)
    floor (13908.5)     		ty = 13908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 20022 / 13908 ti = "16/20022/13908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/20022/13908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20022 ÷ 216
    20022 ÷ 65536     		x = 0.305511474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13908 ÷ 216
    13908 ÷ 65536     		y = 0.21221923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.305511474609375 × 2 - 1) × π
    -0.38897705078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.22200745
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21221923828125 × 2 - 1) × π
    0.5755615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.80817985366852
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.22200745} λ = -1.22200745}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80817985366852))-π/2
    2×atan(6.09933563936535)-π/2
    2×1.40828982864535-π/2
    2.81657965729069-1.57079632675     		φ = 1.24578333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.22200745} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.015869°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24578333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.378127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20022 KachelY 13908 -1.22200745 1.24578333 -70.015869 71.378127
    Oben rechts KachelX + 1 20023 KachelY 13908 -1.22191157 1.24578333 -70.010376 71.378127
    Unten links KachelX 20022 KachelY + 1 13909 -1.22200745 1.24575271 -70.015869 71.376373
    Unten rechts KachelX + 1 20023 KachelY + 1 13909 -1.22191157 1.24575271 -70.010376 71.376373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24578333-1.24575271) × R
    3.06199999999812e-05 × 6371000     		dl = 195.08001999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24578333-1.24575271) × R
    3.06199999999812e-05 × 6371000     		dr = 195.08001999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.22200745--1.22191157) × cos(1.24578333) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.319321102252157 × 6371000     		do = 195.057767905834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.22200745--1.22191157) × cos(1.24575271) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.319350119040625 × 6371000     		du = 195.075492854014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24578333)-sin(1.24575271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319321102252157-0.319350119040625)×R²
    abs(-1.22191157--1.22200745)×2.90167884678394e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.90167884678394e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.90167884678394e-05×40589641000000     		ar = 38053.6021589533m²