Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 20021 / 13907
↖ ↑ ↗
← N 71.379881°
W 70.021362°		 ← 195.02 m → N 71.379881°
W 70.015869°		 →
↑
195.02 m
↓
↑
195.02 m
↓
N 71.378127°
W 70.021362°		 ← 195.04 m →
38 034 m²		 N 71.378127°
W 70.015869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.305503845214844 y=0.212211608886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.305503845214844 × 216)
    floor (0.305503845214844 × 65536)
    floor (20021.5)     		tx = 20021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.212211608886719 × 216)
    floor (0.212211608886719 × 65536)
    floor (13907.5)     		ty = 13907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 20021 / 13907 ti = "16/20021/13907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/20021/13907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20021 ÷ 216
    20021 ÷ 65536     		x = 0.305496215820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13907 ÷ 216
    13907 ÷ 65536     		y = 0.212203979492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.305496215820312 × 2 - 1) × π
    -0.389007568359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.22210332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.212203979492188 × 2 - 1) × π
    0.575592041015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.80827572746776
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.22210332} λ = -1.22210332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80827572746776))-π/2
    2×atan(6.09992043387872)-π/2
    2×1.4083051352136-π/2
    2.8166102704272-1.57079632675     		φ = 1.24581394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.22210332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.021362°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24581394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.379881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20021 KachelY 13907 -1.22210332 1.24581394 -70.021362 71.379881
    Oben rechts KachelX + 1 20022 KachelY 13907 -1.22200745 1.24581394 -70.015869 71.379881
    Unten links KachelX 20021 KachelY + 1 13908 -1.22210332 1.24578333 -70.021362 71.378127
    Unten rechts KachelX + 1 20022 KachelY + 1 13908 -1.22200745 1.24578333 -70.015869 71.378127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24581394-1.24578333) × R
    3.06099999998199e-05 × 6371000     		dl = 195.016309998853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24581394-1.24578333) × R
    3.06099999998199e-05 × 6371000     		dr = 195.016309998853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.22210332--1.22200745) × cos(1.24581394) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.319292094640862 × 6371000     		do = 195.019706464317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.22210332--1.22200745) × cos(1.24578333) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.319321102252157 × 6371000     		du = 195.037423958533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24581394)-sin(1.24578333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319292094640862-0.319321102252157)×R²
    abs(-1.22200745--1.22210332)×2.90076112947069e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.90076112947069e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.90076112947069e-05×40589641000000     		ar = 38033.7511348349m²