Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20020 / 20924
↖ ↑ ↗
← S 44.559163°
E 39.946289°		 ← 870.45 m → S 44.559163°
E 39.957276°		 →
↑
870.41 m
↓
↑
870.41 m
↓
S 44.566991°
E 39.946289°		 ← 870.33 m →
757 594 m²		 S 44.566991°
E 39.957276°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610977172851562 y=0.638565063476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610977172851562 × 215)
    floor (0.610977172851562 × 32768)
    floor (20020.5)     		tx = 20020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638565063476562 × 215)
    floor (0.638565063476562 × 32768)
    floor (20924.5)     		ty = 20924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20020 / 20924 ti = "15/20020/20924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20020/20924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20020 ÷ 215
    20020 ÷ 32768     		x = 0.6109619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20924 ÷ 215
    20924 ÷ 32768     		y = 0.6385498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6109619140625 × 2 - 1) × π
    0.221923828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.69719427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6385498046875 × 2 - 1) × π
    -0.277099609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.87053409710022
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69719427} λ = 0.69719427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.87053409710022))-π/2
    2×atan(0.418727848184416)-π/2
    2×0.396546106640791-π/2
    0.793092213281582-1.57079632675     		φ = -0.77770411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69719427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.946289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77770411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.559163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20020 KachelY 20924 0.69719427 -0.77770411 39.946289 -44.559163
    Oben rechts KachelX + 1 20021 KachelY 20924 0.69738602 -0.77770411 39.957276 -44.559163
    Unten links KachelX 20020 KachelY + 1 20925 0.69719427 -0.77784073 39.946289 -44.566991
    Unten rechts KachelX + 1 20021 KachelY + 1 20925 0.69738602 -0.77784073 39.957276 -44.566991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77770411--0.77784073) × R
    0.000136620000000032 × 6371000     		dl = 870.406020000202m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77770411--0.77784073) × R
    0.000136620000000032 × 6371000     		dr = 870.406020000202m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69719427-0.69738602) × cos(-0.77770411) × R
    0.000191750000000046 × 0.7125263151283 × 6371000     		do = 870.450113218809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69719427-0.69738602) × cos(-0.77784073) × R
    0.000191750000000046 × 0.712430449686054 × 6371000     		du = 870.333000231843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77770411)-sin(-0.77784073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7125263151283-0.712430449686054)×R²
    abs(0.69738602-0.69719427)×9.58654422463789e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58654422463789e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58654422463789e-05×40589641000000     		ar = 757594.051909386m²