Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2002 / 1008
↖ ↑ ↗
← N 67.067433°
W  4.042969°		 ← 3 808.02 m → N 67.067433°
W  3.955078°		 →
↑
3 810.69 m
↓
↑
3 810.69 m
↓
N 67.033163°
W  4.042969°		 ← 3 813.40 m →
14 521 425 m²		 N 67.033163°
W  3.955078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4888916015625 y=0.2462158203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4888916015625 × 212)
    floor (0.4888916015625 × 4096)
    floor (2002.5)     		tx = 2002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2462158203125 × 212)
    floor (0.2462158203125 × 4096)
    floor (1008.5)     		ty = 1008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2002 / 1008 ti = "12/2002/1008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2002/1008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2002 ÷ 212
    2002 ÷ 4096     		x = 0.48876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1008 ÷ 212
    1008 ÷ 4096     		y = 0.24609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48876953125 × 2 - 1) × π
    -0.0224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.07056312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24609375 × 2 - 1) × π
    0.5078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.59534001935547
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07056312} λ = -0.07056312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59534001935547))-π/2
    2×atan(4.93000508431591)-π/2
    2×1.37067192980769-π/2
    2.74134385961538-1.57079632675     		φ = 1.17054753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07056312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.042969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17054753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.067433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2002 KachelY 1008 -0.07056312 1.17054753 -4.042969 67.067433
    Oben rechts KachelX + 1 2003 KachelY 1008 -0.06902914 1.17054753 -3.955078 67.067433
    Unten links KachelX 2002 KachelY + 1 1009 -0.07056312 1.16994940 -4.042969 67.033163
    Unten rechts KachelX + 1 2003 KachelY + 1 1009 -0.06902914 1.16994940 -3.955078 67.033163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17054753-1.16994940) × R
    0.000598129999999975 × 6371000     		dl = 3810.68622999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17054753-1.16994940) × R
    0.000598129999999975 × 6371000     		dr = 3810.68622999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07056312--0.06902914) × cos(1.17054753) × R
    0.00153397999999999 × 0.389647487277031 × 6371000     		do = 3808.01966408912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07056312--0.06902914) × cos(1.16994940) × R
    0.00153397999999999 × 0.390198273788991 × 6371000     		du = 3813.40249327896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17054753)-sin(1.16994940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389647487277031-0.390198273788991)×R²
    abs(-0.06902914--0.07056312)×0.000550786511960277×R²
    0.00153397999999999×0.000550786511960277×6371000²
    0.00153397999999999×0.000550786511960277×40589641000000     		ar = 14521424.6669798m²