Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 20019 / 13910
↖ ↑ ↗
← N 71.374619°
W 70.032349°		 ← 195.09 m → N 71.374619°
W 70.026855°		 →
↑
195.14 m
↓
↑
195.14 m
↓
N 71.372864°
W 70.032349°		 ← 195.11 m →
38 073 m²		 N 71.372864°
W 70.026855°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.305473327636719 y=0.212257385253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.305473327636719 × 216)
    floor (0.305473327636719 × 65536)
    floor (20019.5)     		tx = 20019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.212257385253906 × 216)
    floor (0.212257385253906 × 65536)
    floor (13910.5)     		ty = 13910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 20019 / 13910 ti = "16/20019/13910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/20019/13910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20019 ÷ 216
    20019 ÷ 65536     		x = 0.305465698242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13910 ÷ 216
    13910 ÷ 65536     		y = 0.212249755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.305465698242188 × 2 - 1) × π
    -0.389068603515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.22229507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.212249755859375 × 2 - 1) × π
    0.57550048828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.80798810607004
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.22229507} λ = -1.22229507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80798810607004))-π/2
    2×atan(6.09816621852458)-π/2
    2×1.40825921133652-π/2
    2.81651842267305-1.57079632675     		φ = 1.24572210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.22229507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.032349°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24572210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.374619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20019 KachelY 13910 -1.22229507 1.24572210 -70.032349 71.374619
    Oben rechts KachelX + 1 20020 KachelY 13910 -1.22219919 1.24572210 -70.026855 71.374619
    Unten links KachelX 20019 KachelY + 1 13911 -1.22229507 1.24569147 -70.032349 71.372864
    Unten rechts KachelX + 1 20020 KachelY + 1 13911 -1.22219919 1.24569147 -70.026855 71.372864
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24572210-1.24569147) × R
    3.06300000001425e-05 × 6371000     		dl = 195.143730000908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24572210-1.24569147) × R
    3.06300000001425e-05 × 6371000     		dr = 195.143730000908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.22229507--1.22219919) × cos(1.24572210) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.319379126053405 × 6371000     		do = 195.093211830701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.22229507--1.22219919) × cos(1.24569147) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.319408151719281 × 6371000     		du = 195.110942201659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24572210)-sin(1.24569147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319379126053405-0.319408151719281)×R²
    abs(-1.22219919--1.22229507)×2.90256658756483e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.90256658756483e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.90256658756483e-05×40589641000000     		ar = 38072.9470429449m²