Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20018 / 20962
↖ ↑ ↗
← S 44.855869°
E 39.924316°		 ← 866 m → S 44.855869°
E 39.935303°		 →
↑
865.95 m
↓
↑
865.95 m
↓
S 44.863656°
E 39.924316°		 ← 865.88 m →
749 859 m²		 S 44.863656°
E 39.935303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610916137695312 y=0.639724731445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610916137695312 × 215)
    floor (0.610916137695312 × 32768)
    floor (20018.5)     		tx = 20018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639724731445312 × 215)
    floor (0.639724731445312 × 32768)
    floor (20962.5)     		ty = 20962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20018 / 20962 ti = "15/20018/20962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20018/20962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20018 ÷ 215
    20018 ÷ 32768     		x = 0.61090087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20962 ÷ 215
    20962 ÷ 32768     		y = 0.63970947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61090087890625 × 2 - 1) × π
    0.2218017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.69681077
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63970947265625 × 2 - 1) × π
    -0.2794189453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.877820505842468
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69681077} λ = 0.69681077}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.877820505842468))-π/2
    2×atan(0.415687914480146)-π/2
    2×0.393956863640838-π/2
    0.787913727281676-1.57079632675     		φ = -0.78288260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69681077} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.924316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78288260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.855869°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20018 KachelY 20962 0.69681077 -0.78288260 39.924316 -44.855869
    Oben rechts KachelX + 1 20019 KachelY 20962 0.69700252 -0.78288260 39.935303 -44.855869
    Unten links KachelX 20018 KachelY + 1 20963 0.69681077 -0.78301852 39.924316 -44.863656
    Unten rechts KachelX + 1 20019 KachelY + 1 20963 0.69700252 -0.78301852 39.935303 -44.863656
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78288260--0.78301852) × R
    0.000135920000000067 × 6371000     		dl = 865.946320000427m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78288260--0.78301852) × R
    0.000135920000000067 × 6371000     		dr = 865.946320000427m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69681077-0.69700252) × cos(-0.78288260) × R
    0.000191749999999935 × 0.708883313941751 × 6371000     		do = 865.999679981022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69681077-0.69700252) × cos(-0.78301852) × R
    0.000191749999999935 × 0.708787439514826 × 6371000     		du = 865.882556018019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78288260)-sin(-0.78301852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708883313941751-0.708787439514826)×R²
    abs(0.69700252-0.69681077)×9.58744269250467e-05×R²
    0.000191749999999935×9.58744269250467e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.58744269250467e-05×40589641000000     		ar = 749858.52562281m²