Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 20018 / 13808
↖ ↑ ↗
← N 71.552740°
W 70.037842°		 ← 193.27 m → N 71.552740°
W 70.032349°		 →
↑
193.30 m
↓
↑
193.30 m
↓
N 71.551002°
W 70.037842°		 ← 193.29 m →
37 361 m²		 N 71.551002°
W 70.032349°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.305458068847656 y=0.210700988769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.305458068847656 × 216)
    floor (0.305458068847656 × 65536)
    floor (20018.5)     		tx = 20018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210700988769531 × 216)
    floor (0.210700988769531 × 65536)
    floor (13808.5)     		ty = 13808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 20018 / 13808 ti = "16/20018/13808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/20018/13808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20018 ÷ 216
    20018 ÷ 65536     		x = 0.305450439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13808 ÷ 216
    13808 ÷ 65536     		y = 0.210693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.305450439453125 × 2 - 1) × π
    -0.38909912109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.22239094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210693359375 × 2 - 1) × π
    0.57861328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.81776723359253
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.22239094} λ = -1.22239094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81776723359253))-π/2
    2×atan(6.15809350433747)-π/2
    2×1.4098136199856-π/2
    2.8196272399712-1.57079632675     		φ = 1.24883091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.22239094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.037842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24883091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.552740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20018 KachelY 13808 -1.22239094 1.24883091 -70.037842 71.552740
    Oben rechts KachelX + 1 20019 KachelY 13808 -1.22229507 1.24883091 -70.032349 71.552740
    Unten links KachelX 20018 KachelY + 1 13809 -1.22239094 1.24880057 -70.037842 71.551002
    Unten rechts KachelX + 1 20019 KachelY + 1 13809 -1.22229507 1.24880057 -70.032349 71.551002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24883091-1.24880057) × R
    3.03399999999066e-05 × 6371000     		dl = 193.296139999405m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24883091-1.24880057) × R
    3.03399999999066e-05 × 6371000     		dr = 193.296139999405m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.22239094--1.22229507) × cos(1.24883091) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.316431595084411 × 6371000     		do = 193.272548319146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.22239094--1.22229507) × cos(1.24880057) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.3164603759279 × 6371000     		du = 193.290127306359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24883091)-sin(1.24880057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316431595084411-0.3164603759279)×R²
    abs(-1.22229507--1.22239094)×2.87808434887293e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.87808434887293e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.87808434887293e-05×40589641000000     		ar = 37360.5365359446m²