Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20017 / 35314
↖ ↑ ↗
← N 63.565675°
W125.021667°		 ← 135.94 m → N 63.565675°
W125.018921°		 →
↑
135.96 m
↓
↑
135.96 m
↓
N 63.564452°
W125.021667°		 ← 135.94 m →
18 482 m²		 N 63.564452°
W125.018921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.152721405029297 y=0.269428253173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.152721405029297 × 217)
    floor (0.152721405029297 × 131072)
    floor (20017.5)     		tx = 20017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269428253173828 × 217)
    floor (0.269428253173828 × 131072)
    floor (35314.5)     		ty = 35314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20017 / 35314 ti = "17/20017/35314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20017/35314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20017 ÷ 217
    20017 ÷ 131072     		x = 0.152717590332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35314 ÷ 217
    35314 ÷ 131072     		y = 0.269424438476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.152717590332031 × 2 - 1) × π
    -0.694564819335938 × 3.1415926535     		Λ = -2.18203973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.269424438476562 × 2 - 1) × π
    0.461151123046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.44874898031734
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.18203973} λ = -2.18203973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44874898031734))-π/2
    2×atan(4.25778460960441)-π/2
    2×1.34011332500124-π/2
    2.68022665000247-1.57079632675     		φ = 1.10943032
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.18203973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -125.021667°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10943032 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.565675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20017 KachelY 35314 -2.18203973 1.10943032 -125.021667 63.565675
    Oben rechts KachelX + 1 20018 KachelY 35314 -2.18199180 1.10943032 -125.018921 63.565675
    Unten links KachelX 20017 KachelY + 1 35315 -2.18203973 1.10940898 -125.021667 63.564452
    Unten rechts KachelX + 1 20018 KachelY + 1 35315 -2.18199180 1.10940898 -125.018921 63.564452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10943032-1.10940898) × R
    2.13399999999808e-05 × 6371000     		dl = 135.957139999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10943032-1.10940898) × R
    2.13399999999808e-05 × 6371000     		dr = 135.957139999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.18203973--2.18199180) × cos(1.10943032) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.445171706187187 × 6371000     		do = 135.938535899966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.18203973--2.18199180) × cos(1.10940898) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.445190814886935 × 6371000     		du = 135.944370971312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10943032)-sin(1.10940898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445171706187187-0.445190814886935)×R²
    abs(-2.18199180--2.18203973)×1.91086997477496e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.91086997477496e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.91086997477496e-05×40589641000000     		ar = 18482.2112172047m²