Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 20016 / 35312
↖ ↑ ↗
← N 63.568120°
W125.024414°		 ← 135.96 m → N 63.568120°
W125.021667°		 →
↑
135.96 m
↓
↑
135.96 m
↓
N 63.566898°
W125.024414°		 ← 135.96 m →
18 484 m²		 N 63.566898°
W125.021667°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.152713775634766 y=0.269412994384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.152713775634766 × 217)
    floor (0.152713775634766 × 131072)
    floor (20016.5)     		tx = 20016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269412994384766 × 217)
    floor (0.269412994384766 × 131072)
    floor (35312.5)     		ty = 35312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20016 / 35312 ti = "17/20016/35312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20016/35312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20016 ÷ 217
    20016 ÷ 131072     		x = 0.1527099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35312 ÷ 217
    35312 ÷ 131072     		y = 0.2694091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1527099609375 × 2 - 1) × π
    -0.694580078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.18208767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2694091796875 × 2 - 1) × π
    0.461181640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.44884485411658
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.18208767} λ = -2.18208767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44884485411658))-π/2
    2×atan(4.25819283916023)-π/2
    2×1.34013466423649-π/2
    2.68026932847298-1.57079632675     		φ = 1.10947300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.18208767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -125.024414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10947300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.568120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20016 KachelY 35312 -2.18208767 1.10947300 -125.024414 63.568120
    Oben rechts KachelX + 1 20017 KachelY 35312 -2.18203973 1.10947300 -125.021667 63.568120
    Unten links KachelX 20016 KachelY + 1 35313 -2.18208767 1.10945166 -125.024414 63.566898
    Unten rechts KachelX + 1 20017 KachelY + 1 35313 -2.18203973 1.10945166 -125.021667 63.566898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10947300-1.10945166) × R
    2.13399999999808e-05 × 6371000     		dl = 135.957139999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10947300-1.10945166) × R
    2.13399999999808e-05 × 6371000     		dr = 135.957139999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.18208767--2.18203973) × cos(1.10947300) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.445133488179513 × 6371000     		do = 135.95522502592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.18208767--2.18203973) × cos(1.10945166) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.445152597284711 × 6371000     		du = 135.961061438516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10947300)-sin(1.10945166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445133488179513-0.445152597284711)×R²
    abs(-2.18203973--2.18208767)×1.91091051975345e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91091051975345e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91091051975345e-05×40589641000000     		ar = 18484.4803142365m²