Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20015 / 35313
↖ ↑ ↗
← N 63.566898°
W125.027161°		 ← 135.96 m → N 63.566898°
W125.024414°		 →
↑
135.96 m
↓
↑
135.96 m
↓
N 63.565675°
W125.027161°		 ← 135.97 m →
18 485 m²		 N 63.565675°
W125.024414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.152706146240234 y=0.269420623779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.152706146240234 × 217)
    floor (0.152706146240234 × 131072)
    floor (20015.5)     		tx = 20015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269420623779297 × 217)
    floor (0.269420623779297 × 131072)
    floor (35313.5)     		ty = 35313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20015 / 35313 ti = "17/20015/35313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20015/35313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20015 ÷ 217
    20015 ÷ 131072     		x = 0.152702331542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35313 ÷ 217
    35313 ÷ 131072     		y = 0.269416809082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.152702331542969 × 2 - 1) × π
    -0.694595336914062 × 3.1415926535     		Λ = -2.18213561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.269416809082031 × 2 - 1) × π
    0.461166381835938 × 3.1415926535     		Φ = 1.44879691721696
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.18213561} λ = -2.18213561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44879691721696))-π/2
    2×atan(4.25798871949)-π/2
    2×1.34012399484786-π/2
    2.68024798969572-1.57079632675     		φ = 1.10945166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.18213561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -125.027161°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10945166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.566898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20015 KachelY 35313 -2.18213561 1.10945166 -125.027161 63.566898
    Oben rechts KachelX + 1 20016 KachelY 35313 -2.18208767 1.10945166 -125.024414 63.566898
    Unten links KachelX 20015 KachelY + 1 35314 -2.18213561 1.10943032 -125.027161 63.565675
    Unten rechts KachelX + 1 20016 KachelY + 1 35314 -2.18208767 1.10943032 -125.024414 63.565675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10945166-1.10943032) × R
    2.13399999999808e-05 × 6371000     		dl = 135.957139999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10945166-1.10943032) × R
    2.13399999999808e-05 × 6371000     		dr = 135.957139999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.18213561--2.18208767) × cos(1.10945166) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.445152597284711 × 6371000     		do = 135.961061438516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.18213561--2.18208767) × cos(1.10943032) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.445171706187187 × 6371000     		du = 135.966897789195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10945166)-sin(1.10943032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445152597284711-0.445171706187187)×R²
    abs(-2.18208767--2.18213561)×1.91089024769719e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91089024769719e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91089024769719e-05×40589641000000     		ar = 18485.2738119847m²