Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20015 / 20921
↖ ↑ ↗
← S 44.535675°
E 39.891357°		 ← 870.80 m → S 44.535675°
E 39.902344°		 →
↑
870.72 m
↓
↑
870.72 m
↓
S 44.543505°
E 39.891357°		 ← 870.68 m →
758 177 m²		 S 44.543505°
E 39.902344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20921 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610824584960938 y=0.638473510742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610824584960938 × 215)
    floor (0.610824584960938 × 32768)
    floor (20015.5)     		tx = 20015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638473510742188 × 215)
    floor (0.638473510742188 × 32768)
    floor (20921.5)     		ty = 20921
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20015 / 20921 ti = "15/20015/20921"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20015/20921.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20015 ÷ 215
    20015 ÷ 32768     		x = 0.610809326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20921 ÷ 215
    20921 ÷ 32768     		y = 0.638458251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610809326171875 × 2 - 1) × π
    0.22161865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.69623553
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638458251953125 × 2 - 1) × π
    -0.27691650390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.869958854304779
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69623553} λ = 0.69623553}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.869958854304779))-π/2
    2×atan(0.418968787655037)-π/2
    2×0.396751085812712-π/2
    0.793502171625425-1.57079632675     		φ = -0.77729416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69623553} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.891357°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77729416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.535675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20015 KachelY 20921 0.69623553 -0.77729416 39.891357 -44.535675
    Oben rechts KachelX + 1 20016 KachelY 20921 0.69642728 -0.77729416 39.902344 -44.535675
    Unten links KachelX 20015 KachelY + 1 20922 0.69623553 -0.77743083 39.891357 -44.543505
    Unten rechts KachelX + 1 20016 KachelY + 1 20922 0.69642728 -0.77743083 39.902344 -44.543505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77729416--0.77743083) × R
    0.000136670000000061 × 6371000     		dl = 870.724570000388m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77729416--0.77743083) × R
    0.000136670000000061 × 6371000     		dr = 870.724570000388m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69623553-0.69642728) × cos(-0.77729416) × R
    0.000191749999999935 × 0.71281389477375 × 6371000     		do = 870.801431800688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69623553-0.69642728) × cos(-0.77743083) × R
    0.000191749999999935 × 0.712718034171067 × 6371000     		du = 870.684324725922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77729416)-sin(-0.77743083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71281389477375-0.712718034171067)×R²
    abs(0.69642728-0.69623553)×9.58606026835174e-05×R²
    0.000191749999999935×9.58606026835174e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.58606026835174e-05×40589641000000     		ar = 758177.219436761m²