Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20014 / 20922
↖ ↑ ↗
← S 44.543505°
E 39.880371°		 ← 870.68 m → S 44.543505°
E 39.891357°		 →
↑
870.60 m
↓
↑
870.60 m
↓
S 44.551335°
E 39.880371°		 ← 870.57 m →
757 964 m²		 S 44.551335°
E 39.891357°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610794067382812 y=0.638504028320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610794067382812 × 215)
    floor (0.610794067382812 × 32768)
    floor (20014.5)     		tx = 20014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638504028320312 × 215)
    floor (0.638504028320312 × 32768)
    floor (20922.5)     		ty = 20922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20014 / 20922 ti = "15/20014/20922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20014/20922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20014 ÷ 215
    20014 ÷ 32768     		x = 0.61077880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20922 ÷ 215
    20922 ÷ 32768     		y = 0.63848876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61077880859375 × 2 - 1) × π
    0.2215576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.69604378
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63848876953125 × 2 - 1) × π
    -0.2769775390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.870150601903259
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69604378} λ = 0.69604378}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.870150601903259))-π/2
    2×atan(0.418888459097816)-π/2
    2×0.39668275023144-π/2
    0.793365500462881-1.57079632675     		φ = -0.77743083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69604378} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.880371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77743083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.543505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20014 KachelY 20922 0.69604378 -0.77743083 39.880371 -44.543505
    Oben rechts KachelX + 1 20015 KachelY 20922 0.69623553 -0.77743083 39.891357 -44.543505
    Unten links KachelX 20014 KachelY + 1 20923 0.69604378 -0.77756748 39.880371 -44.551335
    Unten rechts KachelX + 1 20015 KachelY + 1 20923 0.69623553 -0.77756748 39.891357 -44.551335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77743083--0.77756748) × R
    0.00013664999999996 × 6371000     		dl = 870.597149999748m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77743083--0.77756748) × R
    0.00013664999999996 × 6371000     		dr = 870.597149999748m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69604378-0.69623553) × cos(-0.77743083) × R
    0.000191750000000046 × 0.712718034171067 × 6371000     		do = 870.684324726426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69604378-0.69623553) × cos(-0.77756748) × R
    0.000191750000000046 × 0.712622174286706 × 6371000     		du = 870.56721852919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77743083)-sin(-0.77756748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712718034171067-0.712622174286706)×R²
    abs(0.69623553-0.69604378)×9.58598843611158e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58598843611158e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58598843611158e-05×40589641000000     		ar = 757964.316675229m²