Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20012 / 20636
↖ ↑ ↗
← S 42.261049°
E 39.858399°		 ← 904.07 m → S 42.261049°
E 39.869384°		 →
↑
904.04 m
↓
↑
904.04 m
↓
S 42.269179°
E 39.858399°		 ← 903.96 m →
817 271 m²		 S 42.269179°
E 39.869384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610733032226562 y=0.629776000976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610733032226562 × 215)
    floor (0.610733032226562 × 32768)
    floor (20012.5)     		tx = 20012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629776000976562 × 215)
    floor (0.629776000976562 × 32768)
    floor (20636.5)     		ty = 20636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20012 / 20636 ti = "15/20012/20636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20012/20636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20012 ÷ 215
    20012 ÷ 32768     		x = 0.6107177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20636 ÷ 215
    20636 ÷ 32768     		y = 0.6297607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6107177734375 × 2 - 1) × π
    0.221435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.69566029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6297607421875 × 2 - 1) × π
    -0.259521484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.815310788737915
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69566029} λ = 0.69566029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.815310788737915))-π/2
    2×atan(0.442501781418421)-π/2
    2×0.416600936793033-π/2
    0.833201873586066-1.57079632675     		φ = -0.73759445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69566029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.858399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73759445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.261049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20012 KachelY 20636 0.69566029 -0.73759445 39.858399 -42.261049
    Oben rechts KachelX + 1 20013 KachelY 20636 0.69585203 -0.73759445 39.869384 -42.261049
    Unten links KachelX 20012 KachelY + 1 20637 0.69566029 -0.73773635 39.858399 -42.269179
    Unten rechts KachelX + 1 20013 KachelY + 1 20637 0.69585203 -0.73773635 39.869384 -42.269179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73759445--0.73773635) × R
    0.000141900000000028 × 6371000     		dl = 904.044900000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73759445--0.73773635) × R
    0.000141900000000028 × 6371000     		dr = 904.044900000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69566029-0.69585203) × cos(-0.73759445) × R
    0.000191739999999996 × 0.74008845381485 × 6371000     		do = 904.073952616621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69566029-0.69585203) × cos(-0.73773635) × R
    0.000191739999999996 × 0.739993017260469 × 6371000     		du = 903.957369656167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73759445)-sin(-0.73773635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74008845381485-0.739993017260469)×R²
    abs(0.69585203-0.69566029)×9.54365543811564e-05×R²
    0.000191739999999996×9.54365543811564e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.54365543811564e-05×40589641000000     		ar = 817270.749341856m²