Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 20012 / 13917
↖ ↑ ↗
← N 71.362334°
W 70.070801°		 ← 195.20 m → N 71.362334°
W 70.065308°		 →
↑
195.21 m
↓
↑
195.21 m
↓
N 71.360578°
W 70.070801°		 ← 195.21 m →
38 106 m²		 N 71.360578°
W 70.065308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13917 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.305366516113281 y=0.212364196777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.305366516113281 × 216)
    floor (0.305366516113281 × 65536)
    floor (20012.5)     		tx = 20012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.212364196777344 × 216)
    floor (0.212364196777344 × 65536)
    floor (13917.5)     		ty = 13917
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 20012 / 13917 ti = "16/20012/13917"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/20012/13917.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20012 ÷ 216
    20012 ÷ 65536     		x = 0.30535888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13917 ÷ 216
    13917 ÷ 65536     		y = 0.212356567382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.30535888671875 × 2 - 1) × π
    -0.3892822265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.22296618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.212356567382812 × 2 - 1) × π
    0.575286865234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.80731698947536
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.22296618} λ = -1.22296618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80731698947536))-π/2
    2×atan(6.0940750109704)-π/2
    2×1.40815200693461-π/2
    2.81630401386922-1.57079632675     		φ = 1.24550769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.22296618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.070801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24550769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.362334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20012 KachelY 13917 -1.22296618 1.24550769 -70.070801 71.362334
    Oben rechts KachelX + 1 20013 KachelY 13917 -1.22287031 1.24550769 -70.065308 71.362334
    Unten links KachelX 20012 KachelY + 1 13918 -1.22296618 1.24547705 -70.070801 71.360578
    Unten rechts KachelX + 1 20013 KachelY + 1 13918 -1.22287031 1.24547705 -70.065308 71.360578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24550769-1.24547705) × R
    3.06399999998597e-05 × 6371000     		dl = 195.207439999106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24550769-1.24547705) × R
    3.06399999998597e-05 × 6371000     		dr = 195.207439999106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.22296618--1.22287031) × cos(1.24550769) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.319582299420558 × 6371000     		do = 195.196959994551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.22296618--1.22287031) × cos(1.24547705) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.319611332463675 × 6371000     		du = 195.214693022212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24550769)-sin(1.24547705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319582299420558-0.319611332463675)×R²
    abs(-1.22287031--1.22296618)×2.9033043116633e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.9033043116633e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.9033043116633e-05×40589641000000     		ar = 38105.6296689561m²