Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20010 / 20634
↖ ↑ ↗
← S 42.244786°
E 39.836426°		 ← 904.35 m → S 42.244786°
E 39.847412°		 →
↑
904.24 m
↓
↑
904.24 m
↓
S 42.252918°
E 39.836426°		 ← 904.24 m →
817 697 m²		 S 42.252918°
E 39.847412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610671997070312 y=0.629714965820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610671997070312 × 215)
    floor (0.610671997070312 × 32768)
    floor (20010.5)     		tx = 20010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629714965820312 × 215)
    floor (0.629714965820312 × 32768)
    floor (20634.5)     		ty = 20634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20010 / 20634 ti = "15/20010/20634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20010/20634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20010 ÷ 215
    20010 ÷ 32768     		x = 0.61065673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20634 ÷ 215
    20634 ÷ 32768     		y = 0.62969970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61065673828125 × 2 - 1) × π
    0.2213134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69527679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62969970703125 × 2 - 1) × π
    -0.2593994140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.814927293540955
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69527679} λ = 0.69527679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.814927293540955))-π/2
    2×atan(0.442671511269453)-π/2
    2×0.416742865275583-π/2
    0.833485730551166-1.57079632675     		φ = -0.73731060
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69527679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.836426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73731060 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.244786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20010 KachelY 20634 0.69527679 -0.73731060 39.836426 -42.244786
    Oben rechts KachelX + 1 20011 KachelY 20634 0.69546854 -0.73731060 39.847412 -42.244786
    Unten links KachelX 20010 KachelY + 1 20635 0.69527679 -0.73745253 39.836426 -42.252918
    Unten rechts KachelX + 1 20011 KachelY + 1 20635 0.69546854 -0.73745253 39.847412 -42.252918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73731060--0.73745253) × R
    0.000141929999999957 × 6371000     		dl = 904.236029999725m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73731060--0.73745253) × R
    0.000141929999999957 × 6371000     		dr = 904.236029999725m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69527679-0.69546854) × cos(-0.73731060) × R
    0.000191750000000046 × 0.740279315830266 × 6371000     		do = 904.354268181617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69527679-0.69546854) × cos(-0.73745253) × R
    0.000191750000000046 × 0.740183888915189 × 6371000     		du = 904.237690916652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73731060)-sin(-0.73745253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.740279315830266-0.740183888915189)×R²
    abs(0.69546854-0.69527679)×9.54269150774678e-05×R²
    0.000191750000000046×9.54269150774678e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.54269150774678e-05×40589641000000     		ar = 817697.007864928m²