Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20008 / 4712
↖ ↑ ↗
← N 77.823323°
E 39.814453°		 ← 257.66 m → N 77.823323°
E 39.825439°		 →
↑
257.64 m
↓
↑
257.64 m
↓
N 77.821006°
E 39.814453°		 ← 257.71 m →
66 391 m²		 N 77.821006°
E 39.825439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610610961914062 y=0.143814086914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610610961914062 × 215)
    floor (0.610610961914062 × 32768)
    floor (20008.5)     		tx = 20008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143814086914062 × 215)
    floor (0.143814086914062 × 32768)
    floor (4712.5)     		ty = 4712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20008 / 4712 ti = "15/20008/4712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20008/4712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20008 ÷ 215
    20008 ÷ 32768     		x = 0.610595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4712 ÷ 215
    4712 ÷ 32768     		y = 0.143798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610595703125 × 2 - 1) × π
    0.22119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69489330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143798828125 × 2 - 1) × π
    0.71240234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.23807796946118
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69489330} λ = 0.69489330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23807796946118))-π/2
    2×atan(9.37529435716516)-π/2
    2×1.46453477525445-π/2
    2.9290695505089-1.57079632675     		φ = 1.35827322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69489330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.814453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35827322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.823323°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20008 KachelY 4712 0.69489330 1.35827322 39.814453 77.823323
    Oben rechts KachelX + 1 20009 KachelY 4712 0.69508504 1.35827322 39.825439 77.823323
    Unten links KachelX 20008 KachelY + 1 4713 0.69489330 1.35823278 39.814453 77.821006
    Unten rechts KachelX + 1 20009 KachelY + 1 4713 0.69508504 1.35823278 39.825439 77.821006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35827322-1.35823278) × R
    4.04400000000305e-05 × 6371000     		dl = 257.643240000194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35827322-1.35823278) × R
    4.04400000000305e-05 × 6371000     		dr = 257.643240000194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69489330-0.69508504) × cos(1.35827322) × R
    0.000191739999999996 × 0.210926910139841 × 6371000     		do = 257.663154154602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69489330-0.69508504) × cos(1.35823278) × R
    0.000191739999999996 × 0.210966440141587 × 6371000     		du = 257.711443037831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35827322)-sin(1.35823278))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210926910139841-0.210966440141587)×R²
    abs(0.69508504-0.69489330)×3.95300017461964e-05×R²
    0.000191739999999996×3.95300017461964e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.95300017461964e-05×40589641000000     		ar = 66391.3905265491m²