Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20007 / 4697
↖ ↑ ↗
← N 77.858034°
E 39.803467°		 ← 256.95 m → N 77.858034°
E 39.814453°		 →
↑
256.94 m
↓
↑
256.94 m
↓
N 77.855723°
E 39.803467°		 ← 257 m →
66 028 m²		 N 77.855723°
E 39.814453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610580444335938 y=0.143356323242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610580444335938 × 215)
    floor (0.610580444335938 × 32768)
    floor (20007.5)     		tx = 20007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143356323242188 × 215)
    floor (0.143356323242188 × 32768)
    floor (4697.5)     		ty = 4697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20007 / 4697 ti = "15/20007/4697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20007/4697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20007 ÷ 215
    20007 ÷ 32768     		x = 0.610565185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4697 ÷ 215
    4697 ÷ 32768     		y = 0.143341064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610565185546875 × 2 - 1) × π
    0.22113037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.69470155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143341064453125 × 2 - 1) × π
    0.71331787109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.24095418343839
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69470155} λ = 0.69470155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24095418343839))-π/2
    2×atan(9.40229852610347)-π/2
    2×1.46483768467909-π/2
    2.92967536935818-1.57079632675     		φ = 1.35887904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69470155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.803467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35887904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.858034°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20007 KachelY 4697 0.69470155 1.35887904 39.803467 77.858034
    Oben rechts KachelX + 1 20008 KachelY 4697 0.69489330 1.35887904 39.814453 77.858034
    Unten links KachelX 20007 KachelY + 1 4698 0.69470155 1.35883871 39.803467 77.855723
    Unten rechts KachelX + 1 20008 KachelY + 1 4698 0.69489330 1.35883871 39.814453 77.855723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35887904-1.35883871) × R
    4.03300000000328e-05 × 6371000     		dl = 256.942430000209m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35887904-1.35883871) × R
    4.03300000000328e-05 × 6371000     		dr = 256.942430000209m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69470155-0.69489330) × cos(1.35887904) × R
    0.000191750000000046 × 0.210334681307057 × 6371000     		do = 256.953102321004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69470155-0.69489330) × cos(1.35883871) × R
    0.000191750000000046 × 0.210374108931304 × 6371000     		du = 257.001268654318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35887904)-sin(1.35883871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210334681307057-0.210374108931304)×R²
    abs(0.69489330-0.69470155)×3.94276242465519e-05×R²
    0.000191750000000046×3.94276242465519e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.94276242465519e-05×40589641000000     		ar = 66028.3425025982m²