Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20006 / 20982
↖ ↑ ↗
← S 45.011419°
E 39.792480°		 ← 863.66 m → S 45.011419°
E 39.803467°		 →
↑
863.59 m
↓
↑
863.59 m
↓
S 45.019185°
E 39.792480°		 ← 863.54 m →
745 794 m²		 S 45.019185°
E 39.803467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20006 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20982 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610549926757812 y=0.640335083007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610549926757812 × 215)
    floor (0.610549926757812 × 32768)
    floor (20006.5)     		tx = 20006
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640335083007812 × 215)
    floor (0.640335083007812 × 32768)
    floor (20982.5)     		ty = 20982
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20006 / 20982 ti = "15/20006/20982"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20006/20982.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20006 ÷ 215
    20006 ÷ 32768     		x = 0.61053466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20982 ÷ 215
    20982 ÷ 32768     		y = 0.64031982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61053466796875 × 2 - 1) × π
    0.2210693359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.69450980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64031982421875 × 2 - 1) × π
    -0.2806396484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.881655457812073
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69450980} λ = 0.69450980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.881655457812073))-π/2
    2×atan(0.414096824121317)-π/2
    2×0.392599435255709-π/2
    0.785198870511418-1.57079632675     		φ = -0.78559746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69450980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.792480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78559746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.011419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20006 KachelY 20982 0.69450980 -0.78559746 39.792480 -45.011419
    Oben rechts KachelX + 1 20007 KachelY 20982 0.69470155 -0.78559746 39.803467 -45.011419
    Unten links KachelX 20006 KachelY + 1 20983 0.69450980 -0.78573301 39.792480 -45.019185
    Unten rechts KachelX + 1 20007 KachelY + 1 20983 0.69470155 -0.78573301 39.803467 -45.019185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78559746--0.78573301) × R
    0.000135549999999984 × 6371000     		dl = 863.5890499999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78559746--0.78573301) × R
    0.000135549999999984 × 6371000     		dr = 863.5890499999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69450980-0.69470155) × cos(-0.78559746) × R
    0.000191750000000046 × 0.706965843165514 × 6371000     		do = 863.657222420543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69450980-0.69470155) × cos(-0.78573301) × R
    0.000191750000000046 × 0.70686996924645 × 6371000     		du = 863.540099077964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78559746)-sin(-0.78573301))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706965843165514-0.70686996924645)×R²
    abs(0.69470155-0.69450980)×9.5873919063294e-05×R²
    0.000191750000000046×9.5873919063294e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.5873919063294e-05×40589641000000     		ar = 745794.348160068m²