Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20005 / 20981
↖ ↑ ↗
← S 45.003651°
E 39.781494°		 ← 863.77 m → S 45.003651°
E 39.792480°		 →
↑
863.72 m
↓
↑
863.72 m
↓
S 45.011419°
E 39.781494°		 ← 863.66 m →
746 006 m²		 S 45.011419°
E 39.792480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20005 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610519409179688 y=0.640304565429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610519409179688 × 215)
    floor (0.610519409179688 × 32768)
    floor (20005.5)     		tx = 20005
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640304565429688 × 215)
    floor (0.640304565429688 × 32768)
    floor (20981.5)     		ty = 20981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20005 / 20981 ti = "15/20005/20981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20005/20981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20005 ÷ 215
    20005 ÷ 32768     		x = 0.610504150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20981 ÷ 215
    20981 ÷ 32768     		y = 0.640289306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610504150390625 × 2 - 1) × π
    0.22100830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.69431805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640289306640625 × 2 - 1) × π
    -0.28057861328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.881463710213593
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69431805} λ = 0.69431805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.881463710213593))-π/2
    2×atan(0.414176233805945)-π/2
    2×0.392667219353171-π/2
    0.785334438706341-1.57079632675     		φ = -0.78546189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69431805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.781494°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78546189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.003651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20005 KachelY 20981 0.69431805 -0.78546189 39.781494 -45.003651
    Oben rechts KachelX + 1 20006 KachelY 20981 0.69450980 -0.78546189 39.792480 -45.003651
    Unten links KachelX 20005 KachelY + 1 20982 0.69431805 -0.78559746 39.781494 -45.011419
    Unten rechts KachelX + 1 20006 KachelY + 1 20982 0.69450980 -0.78559746 39.792480 -45.011419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78546189--0.78559746) × R
    0.000135569999999974 × 6371000     		dl = 863.716469999833m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78546189--0.78559746) × R
    0.000135569999999974 × 6371000     		dr = 863.716469999833m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69431805-0.69450980) × cos(-0.78546189) × R
    0.000191749999999935 × 0.707061718237963 × 6371000     		do = 863.774347171644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69431805-0.69450980) × cos(-0.78559746) × R
    0.000191749999999935 × 0.706965843165514 × 6371000     		du = 863.657222420043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78546189)-sin(-0.78559746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707061718237963-0.706965843165514)×R²
    abs(0.69450980-0.69431805)×9.58750724495694e-05×R²
    0.000191749999999935×9.58750724495694e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.58750724495694e-05×40589641000000     		ar = 746005.549869443m²