Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20004 / 20980
↖ ↑ ↗
← S 44.995883°
E 39.770508°		 ← 863.85 m → S 44.995883°
E 39.781494°		 →
↑
863.84 m
↓
↑
863.84 m
↓
S 45.003651°
E 39.770508°		 ← 863.73 m →
746 178 m²		 S 45.003651°
E 39.781494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20004 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610488891601562 y=0.640274047851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610488891601562 × 215)
    floor (0.610488891601562 × 32768)
    floor (20004.5)     		tx = 20004
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640274047851562 × 215)
    floor (0.640274047851562 × 32768)
    floor (20980.5)     		ty = 20980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20004 / 20980 ti = "15/20004/20980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20004/20980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20004 ÷ 215
    20004 ÷ 32768     		x = 0.6104736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20980 ÷ 215
    20980 ÷ 32768     		y = 0.6402587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6104736328125 × 2 - 1) × π
    0.220947265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69412631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6402587890625 × 2 - 1) × π
    -0.280517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.881271962615112
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69412631} λ = 0.69412631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.881271962615112))-π/2
    2×atan(0.41425565871865)-π/2
    2×0.392735012642418-π/2
    0.785470025284835-1.57079632675     		φ = -0.78532630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69412631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.770508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78532630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.995883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20004 KachelY 20980 0.69412631 -0.78532630 39.770508 -44.995883
    Oben rechts KachelX + 1 20005 KachelY 20980 0.69431805 -0.78532630 39.781494 -44.995883
    Unten links KachelX 20004 KachelY + 1 20981 0.69412631 -0.78546189 39.770508 -45.003651
    Unten rechts KachelX + 1 20005 KachelY + 1 20981 0.69431805 -0.78546189 39.781494 -45.003651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78532630--0.78546189) × R
    0.000135589999999963 × 6371000     		dl = 863.843889999766m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78532630--0.78546189) × R
    0.000135589999999963 × 6371000     		dr = 863.843889999766m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69412631-0.69431805) × cos(-0.78532630) × R
    0.000191739999999996 × 0.707157594456286 × 6371000     		do = 863.84642031302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69412631-0.69431805) × cos(-0.78546189) × R
    0.000191739999999996 × 0.707061718237963 × 6371000     		du = 863.729300269849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78532630)-sin(-0.78546189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707157594456286-0.707061718237963)×R²
    abs(0.69431805-0.69412631)×9.58762183227435e-05×R²
    0.000191739999999996×9.58762183227435e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.58762183227435e-05×40589641000000     		ar = 746177.866511588m²