Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20004 / 20970
↖ ↑ ↗
← S 44.918139°
E 39.770508°		 ← 865.02 m → S 44.918139°
E 39.781494°		 →
↑
864.99 m
↓
↑
864.99 m
↓
S 44.925918°
E 39.770508°		 ← 864.90 m →
748 181 m²		 S 44.925918°
E 39.781494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20004 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610488891601562 y=0.639968872070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610488891601562 × 215)
    floor (0.610488891601562 × 32768)
    floor (20004.5)     		tx = 20004
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639968872070312 × 215)
    floor (0.639968872070312 × 32768)
    floor (20970.5)     		ty = 20970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20004 / 20970 ti = "15/20004/20970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20004/20970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20004 ÷ 215
    20004 ÷ 32768     		x = 0.6104736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20970 ÷ 215
    20970 ÷ 32768     		y = 0.63995361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6104736328125 × 2 - 1) × π
    0.220947265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69412631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63995361328125 × 2 - 1) × π
    -0.2799072265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.87935448663031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69412631} λ = 0.69412631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.87935448663031))-π/2
    2×atan(0.415050746032618)-π/2
    2×0.393413451082737-π/2
    0.786826902165474-1.57079632675     		φ = -0.78396942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69412631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.770508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78396942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.918139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20004 KachelY 20970 0.69412631 -0.78396942 39.770508 -44.918139
    Oben rechts KachelX + 1 20005 KachelY 20970 0.69431805 -0.78396942 39.781494 -44.918139
    Unten links KachelX 20004 KachelY + 1 20971 0.69412631 -0.78410519 39.770508 -44.925918
    Unten rechts KachelX + 1 20005 KachelY + 1 20971 0.69431805 -0.78410519 39.781494 -44.925918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78396942--0.78410519) × R
    0.00013576999999998 × 6371000     		dl = 864.99066999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78396942--0.78410519) × R
    0.00013576999999998 × 6371000     		dr = 864.99066999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69412631-0.69431805) × cos(-0.78396942) × R
    0.000191739999999996 × 0.708116333276611 × 6371000     		do = 865.017592205177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69412631-0.69431805) × cos(-0.78410519) × R
    0.000191739999999996 × 0.708020460125556 × 6371000     		du = 864.900475908905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78396942)-sin(-0.78410519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708116333276611-0.708020460125556)×R²
    abs(0.69431805-0.69412631)×9.58731510551925e-05×R²
    0.000191739999999996×9.58731510551925e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.58731510551925e-05×40589641000000     		ar = 748181.495541016m²